Bonjour à tous ! Les oraux approchent et je dois avouer que j'ai du mal avec un exercice tombé à l'ENS Lyon l'an dernier (pas dans la RMS...) et qui pourrait donc tomber cette année... Voici l'énoncé :
On note $ \tau (n) $ le nombre de diviseurs positifs de $ n $. Montrer que si $ \alpha > 0 $, $ \lim_{n \to \infty} \frac{\tau (n)}{n^{\alpha}} = 0 $.
Voilà ce que j'ai compris et ce que j'ai montré : en gros il faut montrer que $ \tau (n) $ à une croissance de l'ordre du log, mais le problème c'est qu'elle varie beaucoup : j'ai quand même réussi à montrer qu'en moyenne $ \tau (n) $ est équivalent à $ ln(n) $, c'est-à-dire :$ \frac{\sum_{k=1}^{n} \tau (k)}{n} \sim ln(n) $. Donc on sent bien que $ \tau (n) $ est au plus de l'ordre de $ ln(n) $ mais j'ai pas réussi à le montrer : j'ai cherché à majorer mais ca ne m'a mené à rien...
Merci d'avance pour votre aide !
Exercice - ENS Lyon 2015
Re: Exercice - ENS Lyon 2015
On peut trouver une formule explicite de $ \tau(n) $ me semble t'il ?
Je sais pas si ça peut aider, mais on ne sait jamais !
Je sais pas si ça peut aider, mais on ne sait jamais !
[2016-2018] - Lycée Pasteur - MPSI-MP*
X2018
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Re: Exercice - ENS Lyon 2015
Oui effectivement, en fonction de la décomposition en produit de facteurs premiers de $ n $. Plus précisément, si $ n = p_{1}^{\alpha_{1}}...p_{k}^{\alpha_{k}} $ on a : $ \tau (n) = (\alpha _{1} + 1)...(\alpha _{k} + 1) $. C'est grâce à ça que j'ai pu trouver quelques majorations mais celà ne m'a pas permis de conclure ! Merci quand même ! (Je pense que c'est une bonne piste !)
Re: Exercice - ENS Lyon 2015
une idée
ouais en fait non ça a pas l'air
SPOILER:
Re: Exercice - ENS Lyon 2015
Merci beaucoup ! Je crois avoir trouvé, grâce aux informations données par Ragoudvo ! Voilà ce que j'ai fait :
$ \alpha $ étant fixé, on note $ n = p_{1}^{a_{1}} ... p_{k}^{a_{k}} $ la décomposition en produit de facteurs premiers de $ n $ et $ j = max \left \{ i | p_{i} \leq 2^{\frac{1}{\alpha}} \right \} $. On a alors :
$ \tau (n) = \prod_{i = 1}^{k} (a_{i}+1)= \prod_{i = 1}^{j} (a_{i}+1) \times \prod_{i = j+1}^{k} (a_{i}+1) $ (le premier facteur correspond aux "petits nombres premiers" et l'autre aux "grands").
L'inégalité que vous avez indiquée (convexité de l'exponentielle et $ p \geq 2 $) donne :
$ \prod_{i = 1}^{j} (a_{i}+1) \leq \frac{1}{\alpha ln(2)} \times \prod_{i = 1}^{j} (p_{i}^{\alpha(a_{i}+1))})\leq M_{\alpha} \times \prod_{i = 1}^{j} (p_{i}^{\alpha a_{i}}) $ où $ M_{\alpha} $ est une constante : on peut en effet majorer $ \prod_{i = 1}^{j} p_{i} $ car les "petits nombres premiers" forment un ensemble fini.
Pour le deuxième facteur dans $ \tau (n) $ on a, par définition de $ j $ : $ \forall i,\ j+1 \leq i \leq k \Rightarrow 2^{a_{i}} < p_{i}^{\alpha a_{i}} $. De l'inégalité $ n + 1 \leq 2^{n} $ (se montre facilement par récurrence), on déduit :
$ \prod_{i = j+1}^{k} (a_{i}+1) \leq \prod_{i = j+1}^{k} p_{i}^{\alpha a_{i}} $.
En combinant les inégalités, on obtient donc, pour tout $ \alpha > 0 $ : $ \tau (n) \leq M_{\alpha} n^{\alpha} $ et donc on a bien le résultat (quitte à appliquer le résultat à $ \beta $ tel que $ 0 < \beta < \alpha $).
Encore merci pour ces précieuses indications, n'hésitez pas à me communiquer toute faute que j'aurais pu commettre !
$ \alpha $ étant fixé, on note $ n = p_{1}^{a_{1}} ... p_{k}^{a_{k}} $ la décomposition en produit de facteurs premiers de $ n $ et $ j = max \left \{ i | p_{i} \leq 2^{\frac{1}{\alpha}} \right \} $. On a alors :
$ \tau (n) = \prod_{i = 1}^{k} (a_{i}+1)= \prod_{i = 1}^{j} (a_{i}+1) \times \prod_{i = j+1}^{k} (a_{i}+1) $ (le premier facteur correspond aux "petits nombres premiers" et l'autre aux "grands").
L'inégalité que vous avez indiquée (convexité de l'exponentielle et $ p \geq 2 $) donne :
$ \prod_{i = 1}^{j} (a_{i}+1) \leq \frac{1}{\alpha ln(2)} \times \prod_{i = 1}^{j} (p_{i}^{\alpha(a_{i}+1))})\leq M_{\alpha} \times \prod_{i = 1}^{j} (p_{i}^{\alpha a_{i}}) $ où $ M_{\alpha} $ est une constante : on peut en effet majorer $ \prod_{i = 1}^{j} p_{i} $ car les "petits nombres premiers" forment un ensemble fini.
Pour le deuxième facteur dans $ \tau (n) $ on a, par définition de $ j $ : $ \forall i,\ j+1 \leq i \leq k \Rightarrow 2^{a_{i}} < p_{i}^{\alpha a_{i}} $. De l'inégalité $ n + 1 \leq 2^{n} $ (se montre facilement par récurrence), on déduit :
$ \prod_{i = j+1}^{k} (a_{i}+1) \leq \prod_{i = j+1}^{k} p_{i}^{\alpha a_{i}} $.
En combinant les inégalités, on obtient donc, pour tout $ \alpha > 0 $ : $ \tau (n) \leq M_{\alpha} n^{\alpha} $ et donc on a bien le résultat (quitte à appliquer le résultat à $ \beta $ tel que $ 0 < \beta < \alpha $).
Encore merci pour ces précieuses indications, n'hésitez pas à me communiquer toute faute que j'aurais pu commettre !
Dernière modification par xpro52 le 15 mai 2016 22:04, modifié 2 fois.
Re: Exercice - ENS Lyon 2015
Merci justsayin, c'est justement à l'aide de l'exercice 4.28 du tome Algèbre 1 que j'ai réussi à montrer l'équivalent dont je parle dans mon premier message, mais ça ne m'a pas permit de conclure... Moyenner $ \tau $ est aisé mais ici il fallait majorer, et l'idée de Ragoudvo marche vraiment très très bien !