construction d'endomorphisme

[sosoo]

bonjour,j'ai une question qui me pose probléme: E est un espace vectoriel de dimension n F et G sont deux sous espaces vectoriels de E verifiant :
dimF+dimG=dimE montrer qu'il existe un endomorphisme f de E tel que
Kerf=F et Imf=G .mon probléme avec les questions ou on doit construire une base ou un endomorphisme ou.... c'est que ne sais pas par quoi commencer merci d'avance

[Mû]

bonjour,j'ai une question qui me pose probléme: E est un espace vectoriel de dimension n F et G sont deux sous espaces vectoriels de E verifiant :
dimF+dimG=dimE montrer qu'il existe un endomorphisme f de E tel que
Kerf=F et Imf=G .mon probléme avec les questions ou on doit construire une base ou un endomorphisme ou.... c'est que ne sais pas par quoi commencer merci d'avance

Je te conseille pour éclaircir les idées de commencer par étudier la question dans le cas où $ F \cap G=\{0\} $ ce qui, d'après l'hypothèse sur les dimensions, revient à supposer que F et G sont supplémentaires dans E.

[Colin]

bin tu prends un endomophisme qui marche et tu verifies qu'il existe bien.
bien tues en dimension finie, donc une famille de vecteurs et hop apres come a dit Mu.
edit : ok je me suis rendu compte un peu apres de l'enormité de ma betise.
désolé.

[Cecrops]

Par contre si dim f + dim g = dim e je ne fois pas comment F inter G peut etre différent de l'ensemble vide.

Il n'y a aucune raison que ca soit vide....
deux plans vectoriels dans un espace vectoriel de dimension quatre peuvent tres bien avoir une intersection non réduite à 0! (et non pas vide parce que la, c'est quand meme peu probable...)

[Mû]

Par contre si dim F + dim G = dim E je ne fois pas comment F inter G peut etre différent de l'ensemble vide.

Eh bien déjà une intersection de sous-espaces vectoriels n'est jamais vide puisqu'elle contient toujours 0
Mais elle peut être nettement plus grosse.
Par exemple, si E est de dimension paire, F de dimension moitié et G=F...
Autre exemple, plus frappant car avec des noyaux et images: E=R^2 et f l'endomorphisme de E défini par f(x,y)=(y,0). On a Ker(f)=Im(f)=Vect(0,1), donc Ker(f)=Im(f) mais dim(Ker(f))+dim(Im(f))=dim(E).

[dSP]

Juste une remarque :
il est bon de savoir que si E et F désignent deux espaces vectoriels,
E_1 et E_2 deux sev supplémentaires dans E, et f_1 : E_1 -> F
et f_2 : E_2 -> F deux applications linéaires,

alors il existe une unique application linéaire f : E -> F telle que
f(x)=f_1(x) pour tout x dans E_1, et f(y)=f_2(y) pour tout y dans E_2.