Bonjour les copains,
Comme certains savent peut être, je réfléchis un peu entre autre à la droite réelle ces derniers temps sur ce topic : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=56774 . Bref, je viens de croiser une pub d'un magazine tangente, et le dernier numéro est intitulé "la droite". Le premier dossier est intitulé " la droite et les nombres réels".
Une description d'une section est "Chacun conçoit aisément la représentation des nombres par les points d'une droite orientée munie d'une origine. Cette construction demande cependant à être réalisée avec une certaine rigueur... surtout si l'on souhaite figurer des nombres infiniment petits, ou infiniment grands !". Bref, étant donné que tout mon propos est de structurer l'intuition de la droite (que je juge d'ailleurs limitée ces derniers temps si vous me suivez) et que je reviens souvent sur deux axes de difficultés (infiniments petits et infiniments grands) qui font écho à un autre document que j'avais partagé, vous vous doutez que je suis intéressé par la lecture.
J'ai essayé d'acheter le numéro mais les boutons d'achats sur le numéro vous font acheter en fait un abonnement qui ne permet pas de consulter les numéros déjà sortis (#SiteMalFait #UtilisateurPasAssezMefiant). Et lorsque je sélectionne spécifiquement l'achat du numéro, je ne peux pas acheter une version numérique. Or, là il se trouve que je suis à l'étranger pour un stage et que je n'ai pas vraiment d'adresse de livraison. Bref, si quelqu'un a un abonnement numérique et peut me faire parvenir une version numérique à idenomaths@gmail.com , je lui en serai gré car ça me simplifierait bien les choses. (Preuve de mes mauvais achats : http://s481105607.onlinehome.fr/tangente.jpg ).
Ce qui est très bien avec cette nouvelle est déjà que c'est la preuve que je vous parle de choses intéressantes. Ensuite, je vais enfin pouvoir mettre en contexte mes idées face à des thèses d'autres personnes, par exemple dire ce que je pense de l'article, voir si du vocabulaire utilisé me paraît intéressant, si certaines choses me paraissent réductrices. Pour le moment, je réponds un peu à ma propre exigence qui est motivé par des hypothèses jolies du 18ème siècle qui ne se sont pas intégrées dans les mathématiques modernes mais plutôt désintégrées. Ayant trouvé un intérêts pratique à ces considérations, je les réactualise et mon initiative prend plutôt forme. D'ailleurs, puisque normalement les discours rigoureux sur les formes non logiques et spatiales ne sont pas d'époque, je serai curieux de savoir si un des rédacteurs ne m'aurait pas lu. Bref, je vais vous partager mon avis sur tout ça après ma lecture que j'espère aussi prompte possible.
A+
Numéro magazine tangente : la droite
Re: Numéro magazine tangente : la droite
Bonjour,
je pense que si tu veux attirer l'attention, tu devrais rédiger tes messages de manières plus condensée et surtout poster les "abstracts" de tes travaux.
je pense que si tu veux attirer l'attention, tu devrais rédiger tes messages de manières plus condensée et surtout poster les "abstracts" de tes travaux.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Re: Numéro magazine tangente : la droite
Hello, how it is going ?
Désolé pour le ton un peu racoleur. J’ai finalement reçu le document tangente sur la droite et eu l’occasion de le parcourir. Il y a certaines choses intéressantes. Pas d’indice de lecture de mes documents. Peut être que c’est un sujet d’époque. En tout cas, ça me permet bien de faire des commentaires. Un premier commentaire qui critique la notion de droite comme collection d'autant de points que de nombres réels. Un deuxième qui critique l'absence de mise en perspective de l'espace mathématique à travers la remarque "chacun conçoit aisément la représentation des nombres par les points d’une droite orientée munie d’une origine". J'espère que ces deux points de critique précis peuvent sensibiliser au problématiques que j'aborde dans le document ci-après que j'ai mis à jour et qui vise à présenter la représentation des nombres réels dans l'espace. Ces deux points : concentration sur les structures et présentation de l'espace mathématique entre le logique et l'espace tel qu'il apparait me paraît être la caractéristique principale de mon document.
Dans cette revue, on y construit des droites. Mais où est cette droite ? De quoi est-elle constituée ? Il est dit “Au total, il y aura précisément autant de nombres réels que de points sur la droite”. Donc il y aurait une bijection des nombres réels vers cette droite que l’on a construite. Il y a transformation des nombres en points (qui diffèrent des nombres si l’on a pas parlé purement de rien) sous la modalité d’une bijection. La bijection n’est pas présentée comme une “forme en bijection”, un complexe de synthèses et relations sur des objets prêt à réaliser une bijection, mais bien une bijection. Mais alors qu’est-ce qui soutient la bijection qui fera exister précisément autant de points que de nombres réels ? Est-ce notre esprit ? Pour des raisons de cardinalité cela semble absurde. Est-ce raisonnable de dire que la droite constituée de points existe indépendamment de notre esprit ? Il semble au contraire que la droite numérique “spatiale” est un objet de connaissance et n’existe que pour un homme qui représente un nombre par un point. Aussi, si l’objet n’a aucun sens dans notre esprit pour des raisons de cardinalité, cet ensemble de points sur une droite mis en bijection avec les nombres est un objet vide - c’est-à-dire qu’il n’existe pas (pour nous). Parle-t-on alors d’une “bijection” qui ne serait pas réellement une bijection en “acte” mais plutôt en puissance ? Car on aurait mis tous les principes qui construisent l’objet “nombre réel” dans l’objet “point”, et qu’on aurait conçu les conditions de généralités qui permettent d’appliquer ces principes sans restriction pour le point ?
Mais dans ce cas, la clarté demande qu’on ne parle pas d’une droite comme un objet infini “totalisé” qui fait co-exister les points représentant des nombres réels individuels, mais bien d’un système de production d’une structure analogue à celle des nombres réels sous une forme spatiale. La droite comme infinité de points totalisée ne serait que le corrélatif abstrait de cet objet concret, une enveloppe fictive générale de tous les points qui “pourraient être construit”. Et si c’est bien ce dont on est en train de parler, il est bon de préciser nos positions sur l’objet concret, c’est à dire la structure qu’on a conféré au point dans l’espace pour qu’il reproduise le nombre réel. Si les points sont en bijection abstraite avec les nombres réels, d’après quelle modalité concrète ? Qu’est-ce qui a été donné aux points pour qu’ils puissent prendre la forme de n’importe quel nombre réel ?
Mes “analyses” me font dire que les nombres réels se présentent à travers une droite réelle comme groupe additif archimédien, totalement ordonné, muni de la multiplication des nombres rationnelles et “complétable” par densité. Cela serait la structure la plus immédiate. Si ces considérations sont raisonnables, ce n’est pas l’ensemble des nombres réels avec sa structure traditionnelle donc (peut être davantage les nombres réels avec une structure convenable pour la question de la localisation). La droite réelle seule pourrait donc être par nature limitée. Des synthèses qui doivent être conçues sur les nombres (synthèse multiplicative entre deux nombres réels quelconques) n’existeraient pas immédiatement pour le point dont on dit pourtant qu’il représente le nombre. Il faut donc préciser pour moi au moins comment il y a inconsistance entre les nombres tels qu’ils sont présentés par les points sur la droite seule et par les axiomes classiques. Je prétendais que la multiplication sur la droite réelle seule n’était pas concevable pour les irrationnels, mais en fait, je ne sais pas comment je n’ai pas vu que c’était facilement le cas. Il faut quand même se détacher de la notion de longueur/extension/direction pour cela et tout considérer comme un système de relations entre longueur/orientation/direction. Multiplier Pi par Pi sur la droite, c’est reconstruire Pi avec comme unité Pi, et regarder le résultat dans la perspective de la première unité. Si nous concevons clairement les nombres indépendamment de l’unité comme une certaine relation à l’unité, cette considération est très immédiate. Malgré tout, je crois qu’il pourra rester des qualités à l’idée de travailler de manière plus concrète avec des objets rattachable à des synthèses d'attributs spatiaux et de chercher donc la multiplication dans les rectangles.
Par ailleurs, je crois que ce n’est pas vrai que “chacun conçoit aisément la représentation des nombres par les points d’une droite orientée munie d’une origine”. Je crois que c'est la parole d'un mathématicien. S’il s’agit de répérer 2, -1, et 1/2 une fois 0 et 1 posé, je concède aisément cela. Cependant, s’il s’agit de concevoir des propriétés générales des nombres, l’espace me paraît originellement trop grossier pour représenter des structures ou des propriétés générales sur ces dernières. Il est à priori curieux de lui conférer une telle structure. Il serait par suite nécessaire de le constituer en un espace structuré pour représenter de manière générale des nombres. De plus s’il est régulé et structuré, la connaissance scientifique fait qu’on risque désormais de le trouver étranger à l’ “espace infini homogène et euclidien” qui supporte la représentation des nombres la plus élémentaire, puisqu’il est “spatio-temporel” qu’il se courbe, … Donc, il me semble y avoir une forte spécificité de l’espace “mathématique” représentant le nombre, espace régulé mais en incompatibilité avec d’autres régulations qui sont pensées être le vrai de la régulation de l’espace, qu’il conviendrait de ne pas oublier. La première phrase a en fait pour moi du sens de cette façon. “Chacun conçoit [dans l’espace régulé pour représenter les nombres réels] aisément la représentation des nombres par les points d’une droite orientée munie d’une origine”. C’est-à-dire qu’elle a un sens en tant que phrase qui affirme simplement une sorte d’efficacité de la représentation des nombres réels par des points une fois que l’on s’est donné l’espace régulé pour le faire, mais qui ne met pas en garde contre sa spécificité.
En ce qui concerne l’avancement de mon document, peu d’ajout de contenu, pas de réflexion sur l'ordre des axiomes que je présente par exemple, mais beaucoup de commentaires. Ma conclusion me paraissait intéressante mais beaucoup plus pluri dimensionnelle que mon développement. Aussi, j’ai réalisé une introduction “philosophique” expérimentale qui aborde davantage de dimensions sur le sujet. De plus, dans mon développement, j’ai davantage commenté les objets que je mets en avant pour dire où je veux en venir en les présentant. Ca aide à mettre l’accent sur les parties importantes car il y a beaucoup de bruit qui ne sert pas à grand chose dans mes preuves du fait de mon approche. Il faut m’excuser d’ailleurs sur la partie sur la multiplication qui me paraît non finie et plutôt rapide. Un ajout très important comme je l’ai déjà dit est la mention de la multiplication des nombres réels en général sur la droite réelle seule qui m'apparaissait précédemment être une limite de la droite réelle (je pensais qu'elle ne ce concevait pas sur la droite réelle seule). Vous trouverez ça partie 5 et mentionné de nouveau dans la conclusion finale. Voilà, le sujet continue de m'intéresser. Il continue d'y avoir des surprises et retournement de situations dans mes conceptions. J'espère qu'il intéressera certains, qu'il affinera l'intuition géométrique de celui qui prend le temps de lire.
Update:
[url]http://s481105607.onlinehome.fr/representationnombresreels_commented.pdf[/url]
A+
Désolé pour le ton un peu racoleur. J’ai finalement reçu le document tangente sur la droite et eu l’occasion de le parcourir. Il y a certaines choses intéressantes. Pas d’indice de lecture de mes documents. Peut être que c’est un sujet d’époque. En tout cas, ça me permet bien de faire des commentaires. Un premier commentaire qui critique la notion de droite comme collection d'autant de points que de nombres réels. Un deuxième qui critique l'absence de mise en perspective de l'espace mathématique à travers la remarque "chacun conçoit aisément la représentation des nombres par les points d’une droite orientée munie d’une origine". J'espère que ces deux points de critique précis peuvent sensibiliser au problématiques que j'aborde dans le document ci-après que j'ai mis à jour et qui vise à présenter la représentation des nombres réels dans l'espace. Ces deux points : concentration sur les structures et présentation de l'espace mathématique entre le logique et l'espace tel qu'il apparait me paraît être la caractéristique principale de mon document.
Dans cette revue, on y construit des droites. Mais où est cette droite ? De quoi est-elle constituée ? Il est dit “Au total, il y aura précisément autant de nombres réels que de points sur la droite”. Donc il y aurait une bijection des nombres réels vers cette droite que l’on a construite. Il y a transformation des nombres en points (qui diffèrent des nombres si l’on a pas parlé purement de rien) sous la modalité d’une bijection. La bijection n’est pas présentée comme une “forme en bijection”, un complexe de synthèses et relations sur des objets prêt à réaliser une bijection, mais bien une bijection. Mais alors qu’est-ce qui soutient la bijection qui fera exister précisément autant de points que de nombres réels ? Est-ce notre esprit ? Pour des raisons de cardinalité cela semble absurde. Est-ce raisonnable de dire que la droite constituée de points existe indépendamment de notre esprit ? Il semble au contraire que la droite numérique “spatiale” est un objet de connaissance et n’existe que pour un homme qui représente un nombre par un point. Aussi, si l’objet n’a aucun sens dans notre esprit pour des raisons de cardinalité, cet ensemble de points sur une droite mis en bijection avec les nombres est un objet vide - c’est-à-dire qu’il n’existe pas (pour nous). Parle-t-on alors d’une “bijection” qui ne serait pas réellement une bijection en “acte” mais plutôt en puissance ? Car on aurait mis tous les principes qui construisent l’objet “nombre réel” dans l’objet “point”, et qu’on aurait conçu les conditions de généralités qui permettent d’appliquer ces principes sans restriction pour le point ?
Mais dans ce cas, la clarté demande qu’on ne parle pas d’une droite comme un objet infini “totalisé” qui fait co-exister les points représentant des nombres réels individuels, mais bien d’un système de production d’une structure analogue à celle des nombres réels sous une forme spatiale. La droite comme infinité de points totalisée ne serait que le corrélatif abstrait de cet objet concret, une enveloppe fictive générale de tous les points qui “pourraient être construit”. Et si c’est bien ce dont on est en train de parler, il est bon de préciser nos positions sur l’objet concret, c’est à dire la structure qu’on a conféré au point dans l’espace pour qu’il reproduise le nombre réel. Si les points sont en bijection abstraite avec les nombres réels, d’après quelle modalité concrète ? Qu’est-ce qui a été donné aux points pour qu’ils puissent prendre la forme de n’importe quel nombre réel ?
Mes “analyses” me font dire que les nombres réels se présentent à travers une droite réelle comme groupe additif archimédien, totalement ordonné, muni de la multiplication des nombres rationnelles et “complétable” par densité. Cela serait la structure la plus immédiate. Si ces considérations sont raisonnables, ce n’est pas l’ensemble des nombres réels avec sa structure traditionnelle donc (peut être davantage les nombres réels avec une structure convenable pour la question de la localisation). La droite réelle seule pourrait donc être par nature limitée. Des synthèses qui doivent être conçues sur les nombres (synthèse multiplicative entre deux nombres réels quelconques) n’existeraient pas immédiatement pour le point dont on dit pourtant qu’il représente le nombre. Il faut donc préciser pour moi au moins comment il y a inconsistance entre les nombres tels qu’ils sont présentés par les points sur la droite seule et par les axiomes classiques. Je prétendais que la multiplication sur la droite réelle seule n’était pas concevable pour les irrationnels, mais en fait, je ne sais pas comment je n’ai pas vu que c’était facilement le cas. Il faut quand même se détacher de la notion de longueur/extension/direction pour cela et tout considérer comme un système de relations entre longueur/orientation/direction. Multiplier Pi par Pi sur la droite, c’est reconstruire Pi avec comme unité Pi, et regarder le résultat dans la perspective de la première unité. Si nous concevons clairement les nombres indépendamment de l’unité comme une certaine relation à l’unité, cette considération est très immédiate. Malgré tout, je crois qu’il pourra rester des qualités à l’idée de travailler de manière plus concrète avec des objets rattachable à des synthèses d'attributs spatiaux et de chercher donc la multiplication dans les rectangles.
Par ailleurs, je crois que ce n’est pas vrai que “chacun conçoit aisément la représentation des nombres par les points d’une droite orientée munie d’une origine”. Je crois que c'est la parole d'un mathématicien. S’il s’agit de répérer 2, -1, et 1/2 une fois 0 et 1 posé, je concède aisément cela. Cependant, s’il s’agit de concevoir des propriétés générales des nombres, l’espace me paraît originellement trop grossier pour représenter des structures ou des propriétés générales sur ces dernières. Il est à priori curieux de lui conférer une telle structure. Il serait par suite nécessaire de le constituer en un espace structuré pour représenter de manière générale des nombres. De plus s’il est régulé et structuré, la connaissance scientifique fait qu’on risque désormais de le trouver étranger à l’ “espace infini homogène et euclidien” qui supporte la représentation des nombres la plus élémentaire, puisqu’il est “spatio-temporel” qu’il se courbe, … Donc, il me semble y avoir une forte spécificité de l’espace “mathématique” représentant le nombre, espace régulé mais en incompatibilité avec d’autres régulations qui sont pensées être le vrai de la régulation de l’espace, qu’il conviendrait de ne pas oublier. La première phrase a en fait pour moi du sens de cette façon. “Chacun conçoit [dans l’espace régulé pour représenter les nombres réels] aisément la représentation des nombres par les points d’une droite orientée munie d’une origine”. C’est-à-dire qu’elle a un sens en tant que phrase qui affirme simplement une sorte d’efficacité de la représentation des nombres réels par des points une fois que l’on s’est donné l’espace régulé pour le faire, mais qui ne met pas en garde contre sa spécificité.
En ce qui concerne l’avancement de mon document, peu d’ajout de contenu, pas de réflexion sur l'ordre des axiomes que je présente par exemple, mais beaucoup de commentaires. Ma conclusion me paraissait intéressante mais beaucoup plus pluri dimensionnelle que mon développement. Aussi, j’ai réalisé une introduction “philosophique” expérimentale qui aborde davantage de dimensions sur le sujet. De plus, dans mon développement, j’ai davantage commenté les objets que je mets en avant pour dire où je veux en venir en les présentant. Ca aide à mettre l’accent sur les parties importantes car il y a beaucoup de bruit qui ne sert pas à grand chose dans mes preuves du fait de mon approche. Il faut m’excuser d’ailleurs sur la partie sur la multiplication qui me paraît non finie et plutôt rapide. Un ajout très important comme je l’ai déjà dit est la mention de la multiplication des nombres réels en général sur la droite réelle seule qui m'apparaissait précédemment être une limite de la droite réelle (je pensais qu'elle ne ce concevait pas sur la droite réelle seule). Vous trouverez ça partie 5 et mentionné de nouveau dans la conclusion finale. Voilà, le sujet continue de m'intéresser. Il continue d'y avoir des surprises et retournement de situations dans mes conceptions. J'espère qu'il intéressera certains, qu'il affinera l'intuition géométrique de celui qui prend le temps de lire.
Update:
[url]http://s481105607.onlinehome.fr/representationnombresreels_commented.pdf[/url]
A+
Re: Numéro magazine tangente : la droite
[quote="kakille"]Bonjour,
je pense que si tu veux attirer l'attention, tu devrais rédiger tes messages de manières plus condensée et surtout poster les "abstracts" de tes travaux.[/quote]
+1
je pense que si tu veux attirer l'attention, tu devrais rédiger tes messages de manières plus condensée et surtout poster les "abstracts" de tes travaux.[/quote]
+1
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.
Re: Numéro magazine tangente : la droite
Hello,
Suite à vos demandes, j'ai placé des résumés partout dans le document pour faciliter la lecture. Des grosses mises à jours également, surtout au niveau de la multiplication.
http://s481105607.onlinehome.fr/representationnombresreels_summedup.pdf
Mon document raconte comment passer d'une droite réelle représentant un Q espace vectoriel totalement ordonné et complet, à une droite réelle représentant un corps archimédien totalement ordonné et complet.
Normalement, je vais droit au but tout le long du document avec un bagage mathématique de prépa.
Je reçois vos commentaires avec plaisir.
Suite à vos demandes, j'ai placé des résumés partout dans le document pour faciliter la lecture. Des grosses mises à jours également, surtout au niveau de la multiplication.
http://s481105607.onlinehome.fr/representationnombresreels_summedup.pdf
Mon document raconte comment passer d'une droite réelle représentant un Q espace vectoriel totalement ordonné et complet, à une droite réelle représentant un corps archimédien totalement ordonné et complet.
Normalement, je vais droit au but tout le long du document avec un bagage mathématique de prépa.
Je reçois vos commentaires avec plaisir.