Matrice, Rang et Valeurs propres
Matrice, Rang et Valeurs propres
Salutations
Alors voilà : j'ai une matrice A de taille nxn et de rang 2, représentant une application f.
La question est la suivante : Montrer que 0 est valeur propre et calculer sa multiplicité.
Pour la multiplicité, notée m(0) :
m(0) = dim(ker(f-0)) = dim(ker(f)) = n - dim(Im(f)) = n - rg(f) = n-2
Mais je ne vois pas du tout pourquoi 0 est nécessairement une valeur propre d'une matrice de rang 2...
C'est sûrement tout bête mais je bloque...
Merci d'avance
Alors voilà : j'ai une matrice A de taille nxn et de rang 2, représentant une application f.
La question est la suivante : Montrer que 0 est valeur propre et calculer sa multiplicité.
Pour la multiplicité, notée m(0) :
m(0) = dim(ker(f-0)) = dim(ker(f)) = n - dim(Im(f)) = n - rg(f) = n-2
Mais je ne vois pas du tout pourquoi 0 est nécessairement une valeur propre d'une matrice de rang 2...
C'est sûrement tout bête mais je bloque...
Merci d'avance
Re: Matrice, Rang et Valeurs propres
Déjà , la dimension de ker(f) est inférieure ou égale à la multiplicité et pas nécessairement égale. ( Propriétés du cours )
0 est valeur propre car dimension de ker(f) est supérieure ou égale à 1 sauf si n=2 .
et pour calculer exactement la multiplicité , je pense que tu ne peux pas conclure juste avec les données mentionnés.
0 est valeur propre car dimension de ker(f) est supérieure ou égale à 1 sauf si n=2 .
et pour calculer exactement la multiplicité , je pense que tu ne peux pas conclure juste avec les données mentionnés.
Re: Matrice, Rang et Valeurs propres
Merci pour cette réponse
Mais pourtant, si a est une valeur propre de A, alors :
- son sous-espace propre associé est : ker(f-ai) où i est l'identité.
- l'ordre de multiplicité de a est la dimension du sous-espace propre associé à a.
Donc finalement :
m(a) = dim ker(f-ai)
Et dans le cas où a = 0 on a alors :
m(0) = dim(ker(f-0i)) = dim(ker f)
Par le théorème du rang : n = rg(f) + dim(ker f) = rg(f) + m(0)
Donc m(0) = n - rg(f) = n - rg(A) = n-2.
Ce raisonnement est-il correct ?
Il permet de calculer la multiplicité de 0...
Mais pourtant, si a est une valeur propre de A, alors :
- son sous-espace propre associé est : ker(f-ai) où i est l'identité.
- l'ordre de multiplicité de a est la dimension du sous-espace propre associé à a.
Donc finalement :
m(a) = dim ker(f-ai)
Et dans le cas où a = 0 on a alors :
m(0) = dim(ker(f-0i)) = dim(ker f)
Par le théorème du rang : n = rg(f) + dim(ker f) = rg(f) + m(0)
Donc m(0) = n - rg(f) = n - rg(A) = n-2.
Ce raisonnement est-il correct ?
Il permet de calculer la multiplicité de 0...
Re: Matrice, Rang et Valeurs propres
C'est ça le problème , la propriété du cours dit que : Si a est valeur propre d'une matrice A d'ordre n alors 1 =< dim(ker(A-aIn)) =< la multiplicité de a .
Donc d'après ton raisonnement tu peux juste dire que la multiplicité de 0 est supérieure ou égale a n-2 et non pas égale .
Donc d'après ton raisonnement tu peux juste dire que la multiplicité de 0 est supérieure ou égale a n-2 et non pas égale .
Re: Matrice, Rang et Valeurs propres
Il y a deux multiplicités pour une valeur propre
La dimension du sous-espace propre associé est couramment appelée multiplicité géométrique
La multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique est souvent appelée multiplicité algébrique
La dimension du sous-espace propre associé est couramment appelée multiplicité géométrique
La multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique est souvent appelée multiplicité algébrique
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Matrice, Rang et Valeurs propres
Ah ok ! Merci pour ces réponses
Du coup :
J'ai montré (dans une question précédente) que la matrice A est diagonalisable, car elle est symétrique.
Je sais que 0 est valeur propre.
Du coup, avec le raisonnement précédent, je calcule la multiplicité géométrique de 0, et je trouve bien n-2.
Et comme A est diagonalisable, je sais que la multiplicité géométrique est égale à la multiplicité algébrique.
D'où : m(0) = n-2
Cette fois est-ce correct ?
Merci
Du coup :
J'ai montré (dans une question précédente) que la matrice A est diagonalisable, car elle est symétrique.
Je sais que 0 est valeur propre.
Du coup, avec le raisonnement précédent, je calcule la multiplicité géométrique de 0, et je trouve bien n-2.
Et comme A est diagonalisable, je sais que la multiplicité géométrique est égale à la multiplicité algébrique.
D'où : m(0) = n-2
Cette fois est-ce correct ?
Merci