un exo sur les suites

[titilemonster]

Salut les gas , voilà j'ai un exo sur les suites qui semblent pas très compliqué , et je bug à une question facile mais je pense que c'est un petit détails que j'ai pas vu qu'il me manque pour pouvoir repondre :
je vous explique :
on pose : Un+1 = (Un + Vn) / 2 U0 = b>0 ; Vn+1 = (2UnVn)/ (Un + Vn ) U0 = a>0

la question est simple , montrer que Un>0 et Vn> 0

j'ai essayer de montrer qu'elles sont croissantes avec Un+1 - Un et Vn+1 - Vn pour montrer qu'elles sont positive mais j'arrive a des trucs naze à étudier qui ne nous aide pas...

Pouvez vous me donner un petit coup de pouce les gas

[donnerwetter]

Tente une récurrence sur n

[titilemonster]

pour l'hérédité de p(n) = Un>0 " je trouve Un+1 > (Vn /2) du coup j'ai fais la recurrence de Vn et pour l'hérédité je tombe sur un truc naze.. une fraction de Un et de Vn...

[titilemonster]

mais merci de la piste déjà !! :p je vais creuser dessus

[titilemonster]

j'ai une idée , est ce que ce serai cohérent mathématiquement de mettre dans la même recurrence Un et Vn de poser p(n) " Un>0 et Vn> 0 " parce que tu coup pour l'hérédité on trouve facilement que Un+1 > Vn /2 donc >0 avec les conditions et départ et ensuite on trouve que Vn+1 > Un*Vn donc >0 aussi et on aurait montré ce qu'on voulais ?

[donnerwetter]

Oui c'est cohérent, pour moi c'est l'idée !

[titilemonster]

Ok d'acc Merci beaucoup ! je reviens si j'ai d'autres questions

[titilemonster]

Dans le même exo après avoir prouvé que Un>0 et Vn>0 on doit prouvé que Un > Vn , ça easy le problème c'est qu'après il demande de prouver que les deux suites sont adjacentes ... donc j'ai pas eu de mal a prouver que Un decroissante et Vn croissante , il reste à prouver que la limite tend vers 0 je crois mais la je beug ?

[JeanN]

En fait, c'est un peu piégeux : tu vas démontrer grâce à la monotonie que tes deux suites sont convergentes.
Puis grâce à la première relation de récurrence, tu vérifieras qu'elles ont même limite
Tu pourras ainsi conclure que la différence tend vers 0