derivabilité

[GaussX]

Bonjour je bloque sur un exo qui est le suivant
f de [0,1] vers R derivable tel que f(0)=0 et il existe k>=0 tel que pour tout x |f'(x)|<=k|f(x)|
Montrez que f est nulle.
Le résultat auquel je suis parvenu c f'(0)=0 sinon je n avance pas beaucoup j ai tenté avec le taf mais ça ne donne rien. si une âme charitable peut m aider je lui serait immensément reconnaissant

[GaussX]

Une aide?

[jmctiti]

Bonsoir

J'ai l'impression que la fonction définie sur [0,1]

par f(x)= x

vérifie la propriété donnée (avec k=1) alors qu'elle n'est pas nulle.

[naTsu]

[quote="jmctiti"]Bonsoir

J'ai l'impression que la fonction définie sur [0,1]

par f(x)= x

vérifie la propriété donnée (avec k=1) alors qu'elle n'est pas nulle.[/quote]
Elle ne vérifie pas la propriété , puisque f'(x)=1 et f(x)=x sur [0,1]

[jmctiti]

Désolé, j'avais lu : x |f'(x) < = k |f (x)|

[JeanN]

[quote="GaussX"]Bonjour je bloque sur un exo qui est le suivant
f de [0,1] vers R derivable tel que f(0)=0 et il existe k>=0 tel que pour tout x |f'(x)|<=k|f(x)|
Montrez que f est nulle.
Le résultat auquel je suis parvenu c f'(0)=0 sinon je n avance pas beaucoup j ai tenté avec le taf mais ça ne donne rien. si une âme charitable peut m aider je lui serait immensément reconnaissant[/quote]


Tu es en quelle classe ?

[Isacu]

tu peux essayer d'appliquer Taylor reste intégrale (ou taylor lagrange dans le cas dérivable mais pas C1), si tu te places sur un "suffisamment petit" intervalle tu peux montrer que la fonction y est nul partout. (bon après c'est pas fini mais il faut avoir le coup de main pour prouver ensuite que c'est nul sur tout [0,1])

[JeanN]

Pose F une primitive de |f| puis essaye de montrer que t->F(t)*exp(-kt) est décroissante puis nulle.

[GaussX]

Je suis en mpsi sinon j ai pensé a g(x)=f(x)exp(-kt) puis tenté d encadrer f' mais aucun résultat mais je vais re essayer avc la primitive

[jandri]

Comme f est continue sur un segment on a |f(x)|<= M donc |f '(x)|<= k M et par suite |f(x)|<= k M x.
On montre ensuite par récurrence sur n que |f(x)|<= M (k x)^n / n!