convergence uniforme d'une série de fonctions

[Hamhouda]

Bonjour , je sais qu'on peut prouver qu'une suite de fonctions convergence uniformément si sa série télescopique converge uniformément , mais je ne sais pas pourquoi , je n'arrive pas à le démontrer , mon prof m'as dit que c’était trivial mais bon pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

[darklol]

Dire que sa "série télescopique" comme tu l'appelles converge uniformément (j'imagine que tu parles de la série de terme général f_n - f_{n-1}), c'est dire que la suite de fonctions (somme pour k=1 à n des (f_k - f_{k-1}) ) converge uniformément or la précédente somme vaut précisément f_n - f_0. Donc tu es en train de dire que (f_n - f_0) converge uniformément, donc ((f_n - f_0) + f_0) continue de converger uniformément c'est à dire (f_n) converge uniformément.

En particulier, si ta série télescopique converge normalement, alors ta suite de fonctions converge uniformément.