Exercice Oral X

[zbifkrek]

Bonjour, est ce que quelqu'un peut m'aider pour cet exercice
tombe a l'x en 2015 et sur rms exercice 78
enonce:
Soit E l'ensemble des u : [0, 1] → R 1-lipschitziennes et telles que u(0) = 0. Déterminer sup de( u de E): integrale entre 0 et 1 de u - u^2.

les pistes que j'ai essaye:
se ramener a inf et calculer distance de E mais E n'est pas ev
chercher un suite de fcts lipschitziennes tel que l'integrale tend vers 1/2 "aire maximal sous la courbe y = x entre 0 et 1"
merci d'avance

[Isacu]

Pour t'aider dans ta recherche de la réponse tu pourrais déjà essayer d'étudier un peu la fonction pour x dans R f:x --> x - x^2

[Syl20]

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 40#p850925

[zbifkrek]

je l'ai etudie elle atteint max en 1/2, donc est ce que je considere u(x) = x entre 0 et 1/2 et 1/2 entre 1/2 et 1 ? apparement je pense que c'est plus complique que ca

j'ai reflechi aussi a un truc:
sup de( u de E): integrale entre 0 et 1 de u - u^2 = inf de( u de E): integrale entre 0 et 1 de - u + u^2.
et on peut ainsi calculer cet inf en se ramenant a une distance de l'espace metrique des fonctions 1-lipschitiziennes, que pensiez vous?

[Syl20]

[quote="zbifkrek"]je l'ai etudie elle atteint max en 1/2, donc est ce que je considere u(x) = x entre 0 et 1/2 et 1/2 entre 1/2 et 1 ? apparement je pense que c'est plus complique que ca[/quote]
Pourquoi ça serait plus compliqué ?

[zbifkrek]

bah c'est un oral de l'x, et au niveau de la difficulte c'etait classe parmi les durs dans le td de la topologie, donc je m'en doute que ca soit une reponse en 3 lignes aussi simple , et qu'est ce qui nous garantit que c'est vraiment le sup? est ce qu'on peut pas par exemple trouver une suite de fonctions dont l'integrale converge vers ce sup?

[jmctiti]

Bonjour

Tu as essayé de mettre u -u^2 sous forme canonique ?

Bonne journée

[Isacu]

[quote="zbifkrek"]bah c'est un oral de l'x, et au niveau de la difficulte c'etait classe parmi les durs dans le td de la topologie, donc je m'en doute que ca soit une reponse en 3 lignes aussi simple , et qu'est ce qui nous garantit que c'est vraiment le sup? est ce qu'on peut pas par exemple trouver une suite de fonctions dont l'integrale converge vers ce sup?[/quote]

Les oraux de l'X ne sont pas tous d'une difficulté extrême surtout si ça ne vient pas de la filière MP (pour peu que le candidat est pas très bien réussit le premier exo). Et puis si tu veux une preuve qu'aucune fonction ne vaut plus que 3/8 tu peux montrer que:
-u-u² est croissante sur [0,0.5] donc comme la fonction u est lipzichienne u <= x ce qui implique que son intégrale est inférieure à celle de x sur [0,0.5] soit 1/12.
- puis comme x-x² <= 1/4 en particulier pour tout x dans [0.5,1], u-u² <= 1/4 donc l'intégrale de u-u² sur [0.5,1] est inférieur à 1/8.

Donc pour tout u, l'intégrale demandé est inférieur à 1/12 + 1/8 = 3/24 comme ce majorant est atteint c'est donc alors bien la borne sup.