étude de fonction

[samynacibi nac]

Salut
énoncée :étude de la fonction: x |1+1/x|^(x+1) au voisinage de zéro (oral concours d'entrée des grandes écoles scientifiques )
dans la correction j'ai vu la suite:
Au voisinage de zéro :
ln|f(x)|= -xln|x| + (x+1)ln (x+1)
ln|f(x)|= -xln|x| + o (xln|x|)
|f(x)|= 1-xln|x| + o (xln|x|)
J'aime bien m'aider à comprendre le passage :première ligne vers la deuxième essentiellement le petit''o ''
Merci d'avance

[bullquies]

((x+1)ln(x+1))/(xln(x)) est un produit de deux facteurs : d'un côté ln(x+1)/x, qui tend vers 1 quand x tend vers 0 (dérivée de log en 1)

A côté de ça tu as (x+1)/ln(x) qui tend vers 0 quand x tend vers 0 de manière triviale.

Donc le produit des deux tend vers 0, donc (x+1)ln(x+1) est négligeable devant xln(x) quand x approche 0.

[samynacibi nac]

Oui c'est compris
merci pour votre réponse
mais le correcteur n'a pas écrit la justification donc il paraît comme c'était un résultat direct , je me demande est ce qu'il ya une autre explication (sans passage a la limite )c'est-à-dire comment inspirer la solution directement . on oubli pas c'était un exercice oral
merci

[bullquies]

ln(1+x) = x + o(x) en 0, donc (1+x)ln(x+1) = x+o(x) aussi

Le fait que xln(x) soit prépondérant devant (1+x)ln(x+1) est immédiat vu que ln(x) tend vers l'infini