ECE probleme démonstration par récurrence

[xavier69]

On peut observer que (1+x)^n+1 = (1+x)^n +x(1+x)^n et que 1+(n+1)x = 1+nx + x
Après on montre facilement que x*[(1+x)^n - 1] > 0, en étudiant xo par ex.

(par > comprendre >=)


J'espère que je n'ai pas dis trop de bêtises...[/tex]

[emmo]

moui enfin utiliser l'hypothèse de récurrence serait plus appropié:
(1+x)^(n+1)=(1+x)^n+x(1+x)^n
or (1+x)^n>=1+nx (par hypothèse de récurrence)
et tu remplaces et ça marche donc pas besoin d'étude de fonction...(on fait comme demander dans la consigne)
car en développant on a:
(1+x)^(n+1)>=1+nx+x+nx²(=1+(n+1)x+nx²)
or x² et n positifs donc
1+(n+1)x+nx²>=1+(n+1)x CQFD...

[xavier69]

Je comprends pas un point de ton raisonnement : si x est négatif, comme tu justifies le passage (1+x)^(n+1)>=1+nx+x+nx²(=1+(n+1)x+nx²) ?
Vu, qu'à priori on aurait : x + nx² >= x*(1+x)^n

[emmo]

parce que je n'ai pas fait attention au fait que x pouvait être négatif
en effet ^^
maintenant x est supérieur ou égal à -1 donc (1+x)=|1+x|
en faisant le même raisonnement avec des valeurs absolues (hypothèse de récurrence: (1+x)^n(=|1+x|^n)>=|1+nx|
et après même raisonnement

[xavier69]

Oui. Mais alors là l'hypothèse de récurrence est carrément fausse. Vu qu'en prenant x=-1, pour n>2, on aura |1+nx|>1 et (1+x)^=1

[emmo]

Oui. Mais alors là l'hypothèse de récurrence est carrément fausse. Vu qu'en prenant x=-1, pour n>2, on aura |1+nx|>1 et (1+x)^=1

right je suis désolé, je m'exprime mal... et c'est faux^^
tu gardes la même hypothèse de récurrence mais
(1+x)^(n+1)=|1+x|(1+x)^n
or (1+x)^n>=1+nx
et donc |1+x|(1+x)^n>=|1+x|(1+nx)(=(1+x)(1+nx) car 1+x>=0)
et là tu repars sur le truc du début, sommes-nous d'accord?(ou dis-je encore une ânerie?)
emmo que merci de corriger mes âneries et que l'étude de fonction ça me plaît pas^^ ça fait moche^^

[xavier69]

"Etude" est un bien grand mot (que j'ai hélas employé) pour montrer cette si petite inégalité
Mais ta résolution est plus belle, c'est vrai !

edit: En fait la valeur absolue ne sert à rien, je tatigue.

[emmo]

Bonjour. Je suis inscrit depuis un petit moment, mais c'est mon premier post.
Pour ma part, je serai simplement parti de l'hypothèse de récurrence :

(1+x)^n >= 1+nx
(1+x)^n * (1+x) >= (1+nx)*(1+x), car 1+x >=0
(1+x)^(n+1) >= 1+x*(n+1) + n*x² >= 1+x*(n+1), car n*x²>=0.

Mais vu que vous employez des valeurs absolues, j'en suis à me demander si mon raisonnement est correct ?

lol il l'est ne t'inquiète pas, on m'a fait une réflexion et moi comme un abruti je suis passé par les valeurs absolues^^
ça m'apprendra à réfléchir^^