[Sup] Polynôme Oral X 2016

[hb2]

Bonjour ,

Je bloque sur une question posée en oral l'année dernière à l'X .
énoncé :
Soit f:R→R une application de classe C∞ vérifiant :
∀x∈R, ∃n∈N / f(n)(x)=0. ( f(n) désigne la dérivée nième de f )
Que dire de f?

Je pense qu'il faut montrer que f est polynomiale .

Merci d'avance.

[MATHADOR]

Plusieurs solutions possibles. La plus classique et sans doute la plus simple utilise un lemme qu'il est bon de connaître car utilisable dans de nombreuses situations. Si cela ne figure pas dans ton cours, montre d'abord qu'une intersection dénombrable d’ouverts denses dans R est encore dense dans R. Je l'avais à l'époque eu en colle en sup. De mémoire, ce classique est aussi traité dans le Gourdon.

[hb2]

Désolé mais je vois pas où utiliser ce lemme .. si tu veux bien expliquer ça serait cool

[phibang]

Bonjour !
Un énoncé guidé, mais pas vraiment facile : http://alain.troesch.free.fr/2014/Fichiers/ds5.pdf
ou ici : http://jimmy-leucate.fr/wp-content/uploads/2013/11/TD-2012-03-16-Th%C3%A9or%C3%A8me-de-Corominas.pdf

[hb2]

Merci pour le lien ! j'ai sous-estimé la difficulté de l'exercice
je tâcherai de travailler ce ds .

[JeanN]

Quelques énoncés un peu détaillés se trouvent ici
http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=55503&p=707860#p707348

Bon courage