Question : Espaces de Banach

[Zornette]

Bonjour,
existe-t-il une norme faisant de l'espace des fonctions de classe C infini à support compact un espace de Banach?

Merci pour votre attention et pour votre éventuelle réponse !

[Colas]

Solution à tester : Tu prends $N_i$ la norme infinie de $f^{(i)}$. Puis tu prends $N(f) = \sum_{i=0}^{+\infty} N_i(f)/2^i$.

[Yoz]

Solution à tester : Tu prends $N_i$ la norme infinie de $f^{(i)}$. Puis tu prends $N(f) = \sum_{i=0}^{+\infty} N_i(f)/2^i$.

Je crois que ta somme peut être infinie : tu peux traficoter des fonctions C infini à support compact usuelles pour obtenir un contre-exemple, ou bien utiliser le théorème de Borel...

EDIT : Tu peux peut-être t'en sortir en construisant une distance plutôt qu'une norme (en mettant un min(1, Ni(f)) dans la somme), mais tu n'obtiens pas un Banach du coup. Et je n'ai pas vérifié la complétude, mais la distance ainsi construite semble être un bon candidat.