Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Salut la communauté.
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
salut
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Désolé pour le post en deux parties je souhaitais vérifier qu'avec ma nouvelle configuration internet je pouvais poster sur le forum contrairement à ceux que j'ai vécu depuis le début de l'année (vous m'avez tellement manqué :''( ).
Énonce : Soit $ (X_{i})_{1\le i \le n} $ des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $ {1,...,n!} $ de loi uniforme.
Montrer que $ P(pgcd(X_{1},X_{2}) = 1) = \prod_{i=1}^{m} (1-\frac{1}{p_{i}^{2}}) $ avec $ (p_i)_{1\le i \le m} $ tout les nombres premiers figurant dans la décomposition de $ n! $
Solution : $ P(pgcd(X_{1},X_{2}) = 1) = P(\cap_{i=1}^{m} bar( (p_{i} | X_ {1} et p_{i} |X_{2}) ) $ et on développe par indépendance.
Question : Si on prend 5! alors on a bien que aucun nombre premier entre 2 et 5 ne divise pas 77 ni 91=(7*13) néanmoins ils ne sont pas premiers entre eux or c'est ce je comprend de la solution, pouvez vous m'en dire plus s'il vous plait.
Énonce : Soit $ (X_{i})_{1\le i \le n} $ des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $ {1,...,n!} $ de loi uniforme.
Montrer que $ P(pgcd(X_{1},X_{2}) = 1) = \prod_{i=1}^{m} (1-\frac{1}{p_{i}^{2}}) $ avec $ (p_i)_{1\le i \le m} $ tout les nombres premiers figurant dans la décomposition de $ n! $
Solution : $ P(pgcd(X_{1},X_{2}) = 1) = P(\cap_{i=1}^{m} bar( (p_{i} | X_ {1} et p_{i} |X_{2}) ) $ et on développe par indépendance.
Question : Si on prend 5! alors on a bien que aucun nombre premier entre 2 et 5 ne divise pas 77 ni 91=(7*13) néanmoins ils ne sont pas premiers entre eux or c'est ce je comprend de la solution, pouvez vous m'en dire plus s'il vous plait.
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Il est clair que :
Dans la décomposition de n! on aura tout les nombres premiers entre 1 et n.
Les événements {p_k | A_i} dépendant de k sont indépendants.
Dans la décomposition de n! on aura tout les nombres premiers entre 1 et n.
Les événements {p_k | A_i} dépendant de k sont indépendants.
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
C'est à valeur dans {1,...,n} plutôt que {1,...,n!} je pense...
15-16 : MPSI
16-17 : MP*
(Fermat)
16-17 : MP*
(Fermat)
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Ben tu l'as écrit toi même, les pi sont les nombres premiers qui divisent n!, pas les entiers premiers entre 1 et n. Donc pour 5! Faut considérer tous les nombres premiers entre 1 et 120 et pas 1 et 5 donc 7 est bien pris en compte.. ou alors je comprends pas trop ta question
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
C'est moi qui suis mal réveillé ou la formule ne marche même pas pour n = 3 ?
Sinon moi je comprends ta question, c'est l'égalité qui n'a pas l'air triviale de prime abord.
Sinon moi je comprends ta question, c'est l'égalité qui n'a pas l'air triviale de prime abord.
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Tranquille, on est là.
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Je pense que je me suis mal exprimé. Je vais vous poster l'exercice en photo afin que vous puissiez mieux me guider si vous le souhaitez.
Dernière modification par Bidoof le 23 avr. 2017 13:05, modifié 1 fois.
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Je réitère ma question, j'ai l'impression que pour établir l'égalité de mon premier post, il ne suffit pas de regarder les nombres premiers inférieurs ou égaux à n.
- Pièces jointes
-
- Exercice en question.
- IMG_1852.JPG (1.56 Mio) Consulté 2352 fois