Problème polynôme P(i)=1/i

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Problème polynôme P(i)=1/i

Message par Schädel » 26 mai 2017 16:02

Bonjour, j'aurais encore besoin de votre aide !

L'énoncé :
Soit P de degré n tel que pour i ∈ {1, …, n+1} on ait : $ P(i)=\frac{1}{i} $. Déterminer P(0).

On pose : $ Q(X)=XP(X)-1 $ de sorte que Q(i)=0 pour i ∈ {1, …, n+1} et Q(0)=-1. On obtient ainsi les n+1 racines de Q et $ deg(Q)=1+deg(P)=n+1 $.

En écrivant (a réel) :
$$ Q(X)=a\prod_{k=1}^{n+1}(X-k) $$

On a :
$$ Q(0)=a\prod_{k=1}^{n+1}(-k)=a(-1)^{n+1}(n+1)!=-1 $$

J'obtiens ainsi :

$$ a=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)!} $$

Or le corrigé indique :

$$ a=\frac{(-1)^{n}}{n!} $$

Je ne vois pas où il y a un facteur (n+1) qui tombe. Pourriez-vous m'éclairer ? Merci d'avance.
Dernière modification par Schädel le 26 mai 2017 17:06, modifié 1 fois.

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Re: Problème polynôme P(i)=1/i

Message par JeanN » 26 mai 2017 17:06

Fais le calcul toi même avec n=1 par exemple et tu verras s'il y a une erreur dans le corrigé
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Re: Problème polynôme P(i)=1/i

Message par Schädel » 26 mai 2017 17:56

Merci ! Je trouve que mon résultat est bon, en espérant ne pas m'être trompé.

Par contre, j'ai encore un problème avec la correction de la suite de l'exercice. De là, ils écrivent XP(X) (avec ce que je crois être une mauvaise valeur de a) :

$$ XP(X)=a\prod_{k=1}^{n+1}(X-k)+1 $$

et, en remarquant que le polynôme admet 0 comme racine (car Q(0) = -1) :

$$ XP(X)=\alpha X+...+aX^{n+1} $$

D'où :

$$ P(X)=\alpha + ...+aX^n $$

Et donc :

$$ P(0)=\alpha $$

On cherche donc le coefficient du terme de degré 1 de XP(X). Ils trouvent :

$$ \alpha =a\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{n+1}(n+1)!}{-k} $$

Je comprends la formule, mais je me demande pourquoi le signe dépend de la parité de n+1 et non pas de n, puisqu'il y a n+1 termes et qu'il faut qu'un et un seul des facteurs soit X pour chaque "cas de figure" (je ne sais pas si je suis assez clair).

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Re: Problème polynôme P(i)=1/i

Message par Koppnayw » 27 mai 2017 00:40

Une autre méthode pourrait être de considérer le polynôme interpolateur de Lagrange pour P et de l'évaluer en 0. C'est peut être plus simple.
La prépa c'est résoudre des problèmes compliqués qui ont une solution, la vie c'est résoudre des problèmes simples qui n'ont pas de solution.
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Re: Problème polynôme P(i)=1/i

Message par Schädel » 27 mai 2017 13:27

Je suis désolé, je ne sais vraiment pas comment m'y prendre avec un tel polynôme. Pourriez-vous m'aider à démarrer ?

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Re: Problème polynôme P(i)=1/i

Message par Koppnayw » 27 mai 2017 16:00

Bonjour, voici ce que j'obtiens avec cette méthode.
Pièces jointes
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La prépa c'est résoudre des problèmes compliqués qui ont une solution, la vie c'est résoudre des problèmes simples qui n'ont pas de solution.
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