Oral CCP problème
Oral CCP problème
Bonjour,
j'essaie de résoudre un problème, mais je sèche complètement, pourriez-vous m'aider à trouver des pistes ? (merci de votre aide)
Soit n ∈ N, n>=2. Soit A ∈ Mn(K) tel que A² soit diagonalisable, avec n valeurs propres distinctes.
(a) Montrer que les vecteurs propres de A² sont aussi les vecteurs propres de A.
(b) A est-elle diagonalisable ?
j'essaie de résoudre un problème, mais je sèche complètement, pourriez-vous m'aider à trouver des pistes ? (merci de votre aide)
Soit n ∈ N, n>=2. Soit A ∈ Mn(K) tel que A² soit diagonalisable, avec n valeurs propres distinctes.
(a) Montrer que les vecteurs propres de A² sont aussi les vecteurs propres de A.
(b) A est-elle diagonalisable ?
Re: Oral CCP problème
Salut,
Écris l'équation provenant du fait que $ X\in\mathbb{R}^n $ est vecteur propre de $ A $ puis essaye de faire apparaître du $ A^2 $.
Écris l'équation provenant du fait que $ X\in\mathbb{R}^n $ est vecteur propre de $ A $ puis essaye de faire apparaître du $ A^2 $.
Without geometry, life is pointless.
2015-2016 : M.P.S.I.
2016-2017 : M.P.*
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Re: Oral CCP problème
A et A^2 commutent, donc ton cours contient des propriétés sur la stabilité de tes sous espaces propres, qui sont des droites vectorielles. Tu devrais conclure avec ça.
Si ça t'intéresse, l'exercice se généralise avec cet énoncé je crois :
Si A dans Gln(IC), mq : A diagonalisable équivaut à A^2 diagonalisable.
Si A dans Mn(IC), mq A diagonalisable équivaut à A^2 diagonalisable et ker(A)=ker(A^2)
Si ça t'intéresse, l'exercice se généralise avec cet énoncé je crois :
Si A dans Gln(IC), mq : A diagonalisable équivaut à A^2 diagonalisable.
Si A dans Mn(IC), mq A diagonalisable équivaut à A^2 diagonalisable et ker(A)=ker(A^2)
Re: Oral CCP problème
Pourquoi ? C'est le contraire que l'on veut.BunshinKage a écrit : ↑29 mai 2017 19:18Salut,
Écris l'équation provenant du fait que $ X\in\mathbb{R}^n $ est vecteur propre de $ A $ puis essaye de faire apparaître du $ A^2 $.
Re: Oral CCP problème
Ce qu'il propose marche très bien, mais c'est assez réducteur sur l'exo.remontees a écrit : ↑29 mai 2017 19:58Pourquoi ? C'est le contraire que l'on veut.BunshinKage a écrit : ↑29 mai 2017 19:18Salut,
Écris l'équation provenant du fait que $ X\in\mathbb{R}^n $ est vecteur propre de $ A $ puis essaye de faire apparaître du $ A^2 $.
Re: Oral CCP problème
Ce que je ne comprends pas c’est comment je passe de A² à A, si c'était dans l'autre sens ça serait plus simple...
Re: Oral CCP problème
Si tu veux le faire comme bunshinkage te le propose, tu prends un vecteur propre de A , il est aussi vecteur propre de A^2.
Or la diagonalisation te donne des informations sur la dimension des sous espace propres, ce qui va te permettre de conclure.
Or la diagonalisation te donne des informations sur la dimension des sous espace propres, ce qui va te permettre de conclure.
Re: Oral CCP problème
À moins que j'ai mal compris ce qu'il propose, ce que Jarjar propose revient à montrer qu'un vecteur propre pour A est un vecteur propre pour $ A^2 $ mais on veut montrer exactement le contraire, non ?Jarjar666 a écrit : ↑29 mai 2017 20:12Ce qu'il propose marche très bien, mais c'est assez réducteur sur l'exo.remontees a écrit : ↑29 mai 2017 19:58Pourquoi ? C'est le contraire que l'on veut.BunshinKage a écrit : ↑29 mai 2017 19:18Salut,
Écris l'équation provenant du fait que $ X\in\mathbb{R}^n $ est vecteur propre de $ A $ puis essaye de faire apparaître du $ A^2 $.