Oral CCP problème

[Thib37]

Bonjour,
j'essaie de résoudre un problème, mais je sèche complètement, pourriez-vous m'aider à trouver des pistes ? (merci de votre aide)

Soit n ∈ N, n>=2. Soit A ∈ Mn(K) tel que A² soit diagonalisable, avec n valeurs propres distinctes.
(a) Montrer que les vecteurs propres de A² sont aussi les vecteurs propres de A.
(b) A est-elle diagonalisable ?

[BunshinKage]

Salut,

Écris l'équation provenant du fait que $ X\in\mathbb{R}^n $ est vecteur propre de $ A $ puis essaye de faire apparaître du $ A^2 $.

[Jarjar666]

A et A^2 commutent, donc ton cours contient des propriétés sur la stabilité de tes sous espaces propres, qui sont des droites vectorielles. Tu devrais​ conclure avec ça.
Si ça t'intéresse, l'exercice se généralise avec cet énoncé je crois :
Si A dans Gln(IC), mq : A diagonalisable équivaut à A^2 diagonalisable.
Si A dans Mn(IC), mq A diagonalisable équivaut à A^2 diagonalisable et ker(A)=ker(A^2)

[remontees]

Salut,

Écris l'équation provenant du fait que $ X\in\mathbb{R}^n $ est vecteur propre de $ A $ puis essaye de faire apparaître du $ A^2 $.

Pourquoi ? C'est le contraire que l'on veut.

[Jarjar666]

Salut,

Écris l'équation provenant du fait que $ X\in\mathbb{R}^n $ est vecteur propre de $ A $ puis essaye de faire apparaître du $ A^2 $.

Pourquoi ? C'est le contraire que l'on veut.

Ce qu'il propose marche très bien, mais c'est assez réducteur sur l'exo.

[Thib37]

Ce que je ne comprends pas c’est comment je passe de A² à A, si c'était dans l'autre sens ça serait plus simple...

[Jarjar666]

Si tu veux le faire comme bunshinkage te le propose, tu prends un vecteur propre de A , il est aussi vecteur propre de A^2.
Or la diagonalisation te donne des informations sur la dimension des sous espace propres, ce qui va te permettre de conclure.

[remontees]

Salut,

Écris l'équation provenant du fait que $ X\in\mathbb{R}^n $ est vecteur propre de $ A $ puis essaye de faire apparaître du $ A^2 $.

Pourquoi ? C'est le contraire que l'on veut.

Ce qu'il propose marche très bien, mais c'est assez réducteur sur l'exo.

À moins que j'ai mal compris ce qu'il propose, ce que Jarjar propose revient à montrer qu'un vecteur propre pour A est un vecteur propre pour $ A^2 $ mais on veut montrer exactement le contraire, non ?