Bonsoir,
j'ai un souci sur la nature de la série suivante
J'espère que la question n'est pas sans intérêt
$ \sum\frac{1}{k^2\times cos(k)} $
Merci de votre aide
Stephane
Nature d'une série
Re: Nature d'une série
Bonjour, on a $ \left |cos(\mathbb{N})\right |=]0,1[ $ donc je ne pense pas que le terme général de la série va tendre vers 0 (mais c'est juste une intuition). Tu sors d'où cet exo ?
La prépa c'est résoudre des problèmes compliqués qui ont une solution, la vie c'est résoudre des problèmes simples qui n'ont pas de solution.
Ponts
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Re: Nature d'une série
Il suffirait de montrer qu'il existe une suite extraite de la suite $ (cos(n))_{n \in \mathbb{N}} $ qui tend vers 0 (comme ca le tg de ta serie ne tendra pas vers 0)
Puis tu vois que $ 2\pi \mathbb{Z} + \mathbb{Z} $ est un sous groupe de R donc il est soit discret soit dense, or s'il etait discret pi serait rationnel. Donc il est dense et il existe une suite de $ (2\pi \mathbb{Z} + \mathbb{Z})^{\mathbb{N}} $ qui tend vers 0 et la il faudrait montrer que si on note cette suite $ (2\pi a_n + b_n)_{n \in \mathbb{N}} $ alors on peut extraire de b une suite strictement croissante, ce qui paraît pas si simple
Puis tu vois que $ 2\pi \mathbb{Z} + \mathbb{Z} $ est un sous groupe de R donc il est soit discret soit dense, or s'il etait discret pi serait rationnel. Donc il est dense et il existe une suite de $ (2\pi \mathbb{Z} + \mathbb{Z})^{\mathbb{N}} $ qui tend vers 0 et la il faudrait montrer que si on note cette suite $ (2\pi a_n + b_n)_{n \in \mathbb{N}} $ alors on peut extraire de b une suite strictement croissante, ce qui paraît pas si simple
Dernière modification par Leo11 le 07 juin 2017 21:53, modifié 4 fois.
Re: Nature d'une série
Pour Léo11, ça ne suffit pas du tout pour conclure.
La prépa c'est résoudre des problèmes compliqués qui ont une solution, la vie c'est résoudre des problèmes simples qui n'ont pas de solution.
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Re: Nature d'une série
J'ai edité quand tu m'as répondu mais en effet le message initial etait faux
Re: Nature d'une série
D'acc 
La prépa c'est résoudre des problèmes compliqués qui ont une solution, la vie c'est résoudre des problèmes simples qui n'ont pas de solution.
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Re: Nature d'une série
Ca y est je pense que j'ai
On note $ u_n = 2 \pi a_n + b_n $ (je l'ai pas precise avant mais on peut supposer tous les termes de u non nuls) et on suppose b bornée. Mais u tend vers 0 et ce n'est pas possible si b est bornee car on pourra facilement minorer |u|. Donc il existe une suite c extraite de b telle que |c| tend vers +inf, donc une infinite de termes de c sont soit positifs soit negatifs. Si positifs, c'est gagné, sinon on prend -u et par parité du cos c'est gagné aussi. Je crois que ca marche non ?
On note $ u_n = 2 \pi a_n + b_n $ (je l'ai pas precise avant mais on peut supposer tous les termes de u non nuls) et on suppose b bornée. Mais u tend vers 0 et ce n'est pas possible si b est bornee car on pourra facilement minorer |u|. Donc il existe une suite c extraite de b telle que |c| tend vers +inf, donc une infinite de termes de c sont soit positifs soit negatifs. Si positifs, c'est gagné, sinon on prend -u et par parité du cos c'est gagné aussi. Je crois que ca marche non ?
Re: Nature d'une série
Si ta suite $ u $ tend vers 0, le cosinus tend vers 1, non ? Je ne comprends pas ta démarche.
La prépa c'est résoudre des problèmes compliqués qui ont une solution, la vie c'est résoudre des problèmes simples qui n'ont pas de solution.
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Re: Nature d'une série
Oups oui en effet, jai mélangé u et le terme general.. Il faut remplacer tous mes "0" par des "pi/2" et cette fois-ci ca y est je crois 
Re: Nature d'une série
Même si tout ce que tu as dis était juste, à mon sens ça ne permet pas de conclure puisque le $ k^2 $ devant le cosinus vas aussi être extrait et rien ne dit que le terme général ne tend pas quand même vers 0. Au début, je pensais à l'approximation de Dirichlet pour traiter cet exo mais en fait ça marche bien surtout quand il y a un sinus.
La prépa c'est résoudre des problèmes compliqués qui ont une solution, la vie c'est résoudre des problèmes simples qui n'ont pas de solution.
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