calcul d'une série : méthodes

[thomas.j]

Voici mon exercice : http://hpics.li/9d62ce1

Je montre que Sn est CV en disant que quelque soit k, le terme général est inférieur à 1/(2^k) qui est une série géométrique convergente. donc par comparaison entre séries positives

Après je dois faire le calcul mais j'ai du mal, d'habitude on reconnait une série entière, ou y a des sommes ou produits télescopiques, mais là je ne vois pas comment arriver à ln(2). Vous pourriez me donner une piste svp ?
(ou même un listing des méthodes que vous utilisez pour calculer la somme d'une série si c'est pas trop long :
du genre 1) reconnaitre si c'est pas une série entière
2) télescopage
3) etc

merci beaucoup

[Koppnayw]

Fais plus général, vois la somme comme une fonction appliquée en 1/2. La somme géométrique se calcule et on peut primitiver.

Listing :
-DES
-Telescopage
-Série entière (dérivation ou intégration)
-Transformer en une somme d'intégrales et échanger
-Se ramener à la sommation géométrique
-Passer en complexe quand y'a des cos
-Forme une equa diff de la fonction somme et tu résouts

[thomas.j]

merci beaucoup pour ta réponse !

Donc ici je dois voir f(1/2) = somme de 1/(k*2^k) ?

Ca pourrait être x^k * 1/k donc on reconnait le DSE de -(ln(1-x)) appliqué en 1/2 donc ca fait -ln(1/2) = ln(2) on trouve le bon résultat
C'est fou avec l'indice je trouve directement mais je n'y aurais jamais pensé.... Tu y as pensé parce que l'énoncé dit que ca converge vers ln(2) ?

La question 2 est directe
Et pour la 3 c'est parce que l-Sn = Rn qui est inférieur à 1/((n+1)*2^n) et comme n<n+1 quelque soit n>1 on a directement la réponse

[Koppnayw]

J'y ai pensé parce que y'a pleins d'exos comme ça et en dérivant ou intégrant une série entière on fait tomber des k ou 1/k.

[thomas.j]

D'accord j'essayerai d'y penser

Et là par exemple je dois calculer l'intégrale de 0 à 1 de ln(t) / sqrt(1-t) dt
Avec un changement de variable j'ai pu montrer qu'elle était convergente mais pour le calcul tu ferais comment ? Je n'arrive pas à me ramener à une forme u'/u, et je suppose une fois de plus que je ne pense pas à toutes les formes possibles pour faire le calcul :/

[Koppnayw]

Je formerais le DSE de $ \frac{1}{\sqrt{1-t}} $ puis ensuite, si les hypothèses le permettent, j'échange somme et intégrale. Ensuite le calcul se fait par IPP et il doit y avoir des factoriels qui vont apparaître, et peut être une somme dont tu vas reconnaître un DSE connu.

EDIT : De tête juste comme ça, il y a possibilité que la somme finale se calcule avec les intégrales de Wallis qui donnent une formule connue pour $ \pi $.

EDIT 2 : Par IPP directement en fait ça marche peut être (j'ai pas de crayon pour essayer).