Oral d'analyse

[Zetary]

Salut !

Voici un exo d'analyse tombé à l'oral cet année sur lequel je réfléchis depuis un moment sans grand succès :

On prend $ f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R}) $ telle que pour tout $ x\in \mathbb{R} $ on ait $ f(x) = \int_x^{x+1} f(t)dt $. Que dire de $ f $ ? (je crois qu'il faut montrer qu'elle est constante).

Il devait y avoir des indications mais je n'y ai pas eu accès. Dites moi si ça vous inspire

[Koppnayw]

Tu ne sais pas a priori que la fonction $ f $ est dérivable, mais tu sais que l'intégrale du terme de droite l'est, donc $ f $ est dérivable. C'est tombé à quel oral ?

[Zetary]

Oui je sais que $ f $ est $ \mathcal{C}^\infty $, bornée au voisinage de $ -\infty $ (et j'ai même peut-être qu'elle admet une limite en $ -\infty $ dès que j'arrive à écrire la preuve + non bornée si elle n'est pas constante).

Un concours plutôt difficile

[Koppnayw]

On se donne un intervalle $ [a,b] $ tel que $ 0<b-a<1 $ (EDIT : anecdotique). $ f $ est continue sur ce segment donc est bornée et atteint son max $ M $ en un $ x_{0} $. On a toujours $ f(x) \leq \int_{x}^{x+1}M=M $ avec égalité pour $ x=x_{0} $ donc j'ai bien l'impression que $ f $ est constante égale à $ M $ sur $ [x_{0},x_{0}+1] $ (contre exemple ?) et on peut peut être répéter l'opération.

EDIT : Pour que ça marche, il faudrait que $ M $ soit un max atteint en un $ x_{0} $ de sorte que M soit toujours le max sur $ [x_{0},x_{0}+1] $.

[Zetary]

Oui en effet, typiquement on a un problème si M=b.

En fait cette fonction oscille beaucoup, dès qu'elle prend une fois une valeur, elle la reprend sur un ensemble non majoré dont aucun point n'est isolé dans une boule de rayon >1

[oty20]

un simple argument d'accroissement finis suffit , pour eviter de travailler avec le signe integral , je pose
$ g=\int_{0}^{x} f(t)dt $ on se ramene a la condition
$ g'(x)=g(x+1)-g(x) $ soit $ x_{0} \in \mathbb{R} $ d'apres le theorem des accroisement finis il existe
$ y_{1} \in (x_{0},x_{0}+1) $ tel que $ g'(x_{0})=g'(y_{1}) $ on réitérant ce procédé on construit faciliment une suite
$y_{n}$ de sorte que $ g'(x_{0})=g(y_{n}) $ , soit $ H=\{y_{n}| n dans N\} $ et soit $ h=sup(H) $ si $ h $ est fiini alors par continuité de $ g' $ , $ h $ serait dans H , et par suite $ g'(x_{0})=g'(h) $ mais alors par un meme argument d'acroissement fini il existerait $ h'>h $ tel que $ g'(x_{0})=g(h') $ ce qui contredit la maximalité de $ h $ , ainsi $ sup(H)=\infty $ et par suite
$ g'(x_{0})=\lim g'(y_{n})=0 $ et finalement $ f(x)=f(0) $ comme voulu

[Koppnayw]

Merci

[Zetary]

Ta démonstration me convient très bien sauf pour la dernière étape :
comment sais tu que $ f(y_n) $ tend vers 0 ?

[oty20]

oui c'est vrai je m'excuse , j'ai fait l'exo de tete j'ai pas fait attention , et ecrit mon poste directement , parce que g'(x)=g(x+1)-g(x) , quand x tend vers l'infini , x+1 aussi , ton 2 commentaire sur le fait de supposé que f est bornée ma distrait du fait qu'il faut montrer l'existence de la limite en +infini, pour pourvoir conclure avec mon approche , j'ai cru que c'etait aussi une hypothese , je vais y reflechir serieusement quand j'aurai le temps ; et je reviendrai

[oty20]

Bonjour sans une condition autre que la continuité , la conclusion f constante devient fausse ,
il existe des solutions dans la forme $ f(x)=e^{ax} \cos(bx) $ pour des choix judicieux de a et b . es tu sur que l'énoncé est complet ? Merci .