Les dattes à Dattier

[noro]

Bonjour,

@Oty : Q n'est pas unitaire (coeff principal qui vaut 1 ou -1).

Bonne journée.

il suffit de prendre Q = (X-1)(X-2)

[oty20]

Bonjour,

énoncé 138 : une affaire de constance
A-t-on $\forall n \in \mathbb N, \exists a,b\in \mathbb N_{\geq n}, E(a\times \pi)+E(b\times \pi) \mod 2=1$ ?

Bonne journée.

Soient $ y $ des nombres réels strictement positifs : tel que $ \frac{1}{\pi} +\frac{1}{y}=1 $ d’après le théorème de Beatty les suites $ (E(n\pi)) $ et $ (E(ny)) $ forment une partitions de $ N^{*} $

Soit $ n\in \mathbb{N} $ l'ensemble $ \mathbb{N}_{\geq n} $ contient une infinité de terme de la suite $ (E(m\pi)) $, si $ (E(m\pi)) $ ne garde jamais la même parité c'est terminer .
sinon supposant qu'il existe $ N $ tel que $ \forall m \geq N $ , $ (E(m\pi)) $ garde la même parité , si celle ci est impaire alors on prend $ (a,b) $ de la forme $ (k,0) $ convient .
Reste a traiter le cas ou $ (E(m\pi)) $ est paire $ \forall m \geq N $ dans ce cas la suite $ (E(my)) $ contient des termes impaires , soit $ s\geq N $ et $ k=E(s\pi) $ alors $ k $ n'est pas atteint par la suite $ (E(my)) $ on dispose donc de $ p $ tel que $ E(py) <k < E((p+1)y) $ , ainsi par injectivité de $ t\to E(t\pi) $ et $ t \to E(ty) $ ,$ t $ entier naturel , l'ensemble $ \{1,...,k\} $ contient $ s+p $ éléments des deux suites ; donc $ k=s+p $ , ainsi pour $ s\geq N $ impair , $ k $ est paire , et donc $ p $ impaire ce qui est exclu si on s'arrange pour que $ E(my) $ ne prenne que des valeurs impaires si $ E(m\pi) $ ne prend que des valeurs paires , dans tout les cas il s'agit de savoir si la parité de $ E(m\pi) $ devient fixe a partir d'un certain rang . Des idées ?

[oty20]

Bonjour,

@Oty : Q n'est pas unitaire (coeff principal qui vaut 1 ou -1).

Bonne journée.

Ah oui désolé , j'ai oublié cette condition $ Q=(x+3)(x+4) $ l'idée est claire est de s'arranger pour que les Poly soient paires .

[oty20]

Conclusion de la preuve :
D’après le théorème de Jacobi la suite $ n\pi -E(n\pi) $ est dense dans $ [0,1] $ ,
soit $ a \in [0,1] $ qu'on choisira ultérieurement
donc l'inégalité $ n\pi-E(n\pi)< a $ , pour infinité de valeurs de $ n $

donc $ E((n+1)\pi )=E(n\pi +\pi) $ or $ E(n\pi)+3 <n\pi +\pi < E(n\pi)+a+\pi $ , pour $ a $ suffisamment petit par exemple $ a=0,2 $ il vient que $ E((n+1)\pi)=E(n\pi)+3 $ pour une infinité de valeurs de $ n $ , donc la suite ne peut rester paire a partir d'un certain rang ce qui permet de conclure sauf erreur .

[oty20]

Bonsoir ,c'est la fameux résultat: pour $ \alpha $ irrationnel , $ (n\alpha -E(n\alpha)) $ est dense dans $ [0,1] $

[oty20]

Bonjour,

énoncé 96 : Théorème de Weierstrass étandue au fonction croissante
Soit f une fonction réel continue croissante sur [0,1].
A-t-on l'existence d'une suite de fonctions polynômes croissantes convergeante uniformément vers f ?

Bonne journée.

Supposons f croissante et continue .
On prend $ P_{n}(f)=\sum_{k=0}^{n} f(\frac{k}{n}) \binom{n}{k} X^{k} (1-X)^{n-k} $ , pour alléger latex $ Q_{n,k}=\binom{n}{k} X^{k} (1-X)^{n-k} $
pour $ n\geq 2 $

$ P_{n}(f)'(x)=n\sum_{k=0}^{n-1} [f(\frac{k+1}{n})-f(\frac{k}{n})] Q_{n-1,k}(x) \geq 0 $ .

[oty20]

Bonjour,


énoncé 97 : Théorème de Weierstrass étandue au fonction convexe
Soit f une fonction réel continue convexe sur [0,1].
A-t-on l'existence d'une suite de fonctions polynômes convexe convergeante uniformément vers f ?

Bonne journée.

Avec les notations précédentes , supposons maintenant f convexe continue :

$ (P_{n}(f))''(x)=n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2} [f(\frac{k+2}{n})-2f(\frac{k+1}{n}) +f(\frac{k}{n})] Q_{n-2,k}(x) \geq 0 $

Merci pour ces questions , j'ignorais cette propriété de l'opérateur de Bernstein avant de faire ces deux exos .

[oty20]

énoncé 90 : l'improbable résultat
Soit $ p>5 $ un nombre premier, $ a_1,...,a_k,a_{k+1}=p-a_1,...,a_{2k}=p-a_k $ une sequence finie d'entier distincts de $ [1,p-1] $, avec $ a_1=1 $
tel que $ \exists d\in \mathbb N^*,d>1, \forall i \in \mathbb{N}\cap [1,2k],\exists j \in \mathbb{N}\cap [1,2k], d|a_i+a_j $
A-t-on : $ p | d $ ?

Très improbable , $ p=13 $ , $ a_{1}=1 , ~~a_{2}~~ , a_{3}=12 , a_{4}=13-a_{2} $
on prend $ a_{2}=7 $ , $ a_{1}+a_{2}=8 $ , $ a_{3}+a_{4}=18 $
Pour $ d=2 $ , on a bien $ \forall i \in [[1,4]] ,\exists j \in [[1,4]] ; d|a_{i}+a_{j} $
sans que $ p|d $

[oty20]

Salut,

Je mets des nouveaux, par ici.
énoncé 83 : Polynôme et diviseur
$ \text{ Soit } P\in\mathbb Z[x], \text{deg}(P)>1. \text{ A-t-on } \forall n\in\mathbb N^*, n! \textbf{ | }P(1)\times P(2) ...\times P(n), \text{ ssi } \exists a\in \mathbb Z, P(a)=0 ? $

on a : $ x(x-1)...(x-n+1)=n! \binom{x}{n},~~(1) $ avec $ \binom{x}{n} $ le n-eme polynôme d'Hermite si il existe $ a $ dans Z tel que $ P(a)=0 $ alors $ (1-a)(2-a)...(n-a)=(-1)^{n} (a-1)(a-2)...(a-n) |P(1)...P(n) $ d’après $ (1) $ évaluer en $ x=a-1 $ il vient que $ n!|P(1)...P(n) $ car classiquement $ H_{n}(\mathbb{Z}) \subset \mathbb{Z} $

Je pense que la réciproque est fausse , la construction d'un contre exemple que j'ai faite est assez technique , le seule moyen que j'ai trouvée est comme suit , on prend par exemple : $ P(x)=(x^{2}-2)(x^{2}+7)(x^{2}+14) $

Alors $ P(x)=0 $ n'admet pas de solution entière mais admet toujours une solution modulo $ n $ pour tout entier n , d’après le lemme de Hensel , ceci assure que $ \Pi_{i=1}^{n} P(i) $ est divisible par n! , ce qui fournit un contre exemple .

[oty20]

Bonsoir , la démonstration est assez technique , et ne s'inscrit pas (il me semble) dans l'esprit des vos dattes ..... j'ai retrouvé une trace , http://www.animath.fr/IMG/pdf/cours-arith1.pdf page 61 .