Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. août 14, 2018 1:43 am

168 : de l'intégrabilité
Soit \( f \in C([0,1]) \). A-t-on un $h$ intégrable sur $[0,1]$ tel que $f(x)=f(0)+\int_0^x h(x)$ ?

Nabuco
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » mar. août 14, 2018 2:02 am

Dattier a écrit :
mar. août 14, 2018 1:43 am
168 : de l'intégrabilité
Soit \( f \in C([0,1]) \). A-t-on un $h$ intégrable sur $[0,1]$ tel que $f(x)=f(0)+\int_0^x h(x)$ ?
Si on se donne h intégrable la fonction intégrale de 0 à x de h est différence de fonction croissantes (C est l intégrale de 0 à x de h+ moins celle de h-. Ainsi il suffit de prendre f continue à variation non bornée et nulle en 0.

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Message par Dattier » mar. août 14, 2018 2:04 am

@Nabuco : bravo.

BobbyJoe
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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » mar. août 14, 2018 4:57 am

Juste pour info : Pour le $168,$ il suffit de prendre une fonction qui n'est pas absolue continue (dont la dérivée faible n'est pas dans $L^{1}$). L'escalier du diable (i.e. la fonction de répartition de la loi uniforme supportée par le Cantor triadique) est un exemple de telle fonction, qui est pourtant à variations bornées!

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Message par Dattier » mar. août 14, 2018 6:29 am

BobbyJoe a écrit :
lun. août 13, 2018 4:22 pm
En effet, typiquement une fonction continue nulle part monotone... Mais bon, le point crucial est tout de même qu'une fonction à variations bornées est aussi dérivable en presque tout point donc bon... (c'est le point essentiel à mon avis pour produire la contradiction!)
Juste pour info : pour le 165 la fonction \( f(x)=x\times \cos(\pi/x) \) continue sur $[0,1]$ n'est pas à variation bornée, est un contrexemple de telle fonction, est tout de même une fonction qui est, pourtant dérivable partout sauf en 0 !

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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » mar. août 14, 2018 7:15 am

Au passage, vu qu'"absolument continue" implique "à variations bornées", il est sans doute de bon ton de donner un contre-exemple d'une fonction qui n'est pas "absolument continue" mais "à variations bornées"!

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. août 14, 2018 7:17 am

Je parlais du 165, pour lequel tu disais, qu'il fallait une fonction non dérivable presque partout, je te montre que ce n'est pas nécéssaire !

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. août 14, 2018 4:31 pm

169 : transitivité infini
\( Re \) relation transitive sur $\mathbb R$. Déterminer une CNS, sur $Re$ pour que $\forall (a_n)_n \in \mathbb R^{\mathbb N},\lim a_n=a, \forall n\in\mathbb N, Re(a_n,a_{n+1})$ alors $\forall n\in\mathbb N, Re(a_n,a)$

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. août 14, 2018 4:38 pm

les fraîches (pas encore tombé) :

--20 : équations fonctionnelles tombé par Nabuco

-21 : le résultat faux ? Tombé sur Maths.net

-34 : Catalan +1 tombé par Nabuco

-36 : polysition

-38 : Inégalité de Jensen +

-44 : la fonction factorinus

-47 : double casse-tête

-52,53 : une histoire de poids

-55 : points variés

-57 : points variés +

-58 : puissance et plus grand diviseur

-59,60 : résultat improblable ?

-61 : théorème de Stone-Weierstrass algébrique fini

-63 : doublement classique+

-64 : une histoire de mod borné

-66 : équa diff non linéaire

les nouvelles :

82 : Analyse diffèrentielle

84 : décomposition polynômiale

88 : Palindromitude
tombé par Nicolas Patrois

118 : limite en or

119-120 : préliminaire au 118

129 : CNS de bijectivité

130 : Avec ou sans super calculateur ?

131 : Avec ou sans super calculateur 2

132 : Avec ou sans super calculateur 3


139 : l'improbable résultat 2

141 : question de densité

144 : polynôme et permutation 2

147 : minimisation 3

149 : racine fonctionnelle

150 : racine fonctionnelle 2


pause crypto

154 : miracle algébrique (3) ?

155 : clin d'oeil à Siro

156 : Jean n'en veut pas

157 : Stone Weiertrass fini la réciproque

158 : opération et composition (version finie)

159 : opération et composition (version infinie)


160 : polynôme et permutation

161 : théorème de convergence dominée 2.0 tombé par Jochen Glueck

162 : thèoréme de convergence dominée 3.0 tombé par Jochen Glueck


163 : thèoréme de convergence dominée 4.0 tombé par Certus

167 : incroyable mais vrai (autour du nombre de Graham) tombé par JeanN

-169 : transivité infini

-170 : une histoire de convergence en milieu hostile+++ tombé dans Blass
-171 : une histoire de convergence en milieu hostile 2 tombé par GaBuZoMeu

-172 : convergence dominée 5 tombé par Certus et Bobby Joe

-173 : calcul de borne

-174 : convergence dominée 6 tombé par Bobby Joe

-175 : convergence dominée 7
tombé par Nate Eldredge

-176 : système linéaire infini tombé par Nabuco

-177 : compact radin

-178 : compact généreux

-179 : dérivé en milieu hostile


-180 : principe de promiscuité

-181 : sabotage amicale (le rubis cub)
Modifié en dernier par Dattier le mar. août 28, 2018 8:28 am, modifié 18 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nicolas Patrois » mar. août 14, 2018 6:11 pm

88 : Palindromitude

Si $P\in\mathbb{C}[X]$ palindrome de degré $n=2×k+ϵ$ et $ϵ∈\{0,1\}$ avec $(n>0)$, alors si $r$ est une racine de $P$ alors $1/r$ aussi et de même multiplicité. Il est clair que $r≠0$.
Supposons que $|r|≠1$, alors $(X-r)(X-1/r)=X^2-\frac{r^2+1}{r} X+1$. Donc si ni $1$ ni $-1$ ne sont racines de $P$, tout va bien puisque $r≠1/r$.
Pour le reste, je ne vois pas mais je suppose que pour $1$ on peut utiliser $P^\prime$ pour démontrer que 1 est racine d’ordre pair.
Modifié en dernier par Nicolas Patrois le mar. août 14, 2018 6:38 pm, modifié 2 fois.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
-+- Gustave Flaubert, Dictionnaire des idées reçues -+-

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Message par Dattier » mar. août 14, 2018 6:22 pm

@Nicolas : pas mal, manque le cas si 1 ou -1 racine, du polynôme palindrome.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nicolas Patrois » mar. août 14, 2018 6:32 pm

Je finis.
Si la multiplicité de $1$ était impaire (disons $m$), alors $X^m+…+(-1)$ diviserait $P$ ce qui voudrait dire que le coefficient dominant de P serait de signe opposé à… contradiction.
Quant à $-1$, comme les autres racines sont groupées par $2$ (et que si le degré de $P$ est impair alors $-1$ en est racine), c’est fini.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
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Message par Dattier » mar. août 14, 2018 6:34 pm

@Nicolas : Bravo.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. août 15, 2018 3:40 pm

Bonjour,

Pour les amateurs de grandes difficultés : le 156
Le meilleur rapport qualité prix : le 61 et 157
Pour les amateurs de reccord : le 167

Bonne journée.

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Hibiscus
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Hibiscus » mer. août 15, 2018 4:01 pm

Dattier a écrit :
mer. août 15, 2018 3:40 pm
Pour les amateurs de reccord : le 167
Je viens de le voir, du coup j'ai un doute..
On peut pas juste utiliser un truc du genre
"Renvoit les d derniers decimales de p^^n (n>d), ou p^^n est la tour p^p^...p^p (n p's).
tower_digits:=proc(d,p)
local x, oldx, height;
begin
x := p;
height := 1;
while TRUE do
oldx := x;
x := powermod(p,x,10^d);
if x = oldx mod 10^d then break end_if;
height := height + 1
end_while;
return([x,height])
end_proc

Comme toutes les tours de hauteur plus grande que d ont la meme sequence des derniers digits.

Et on a "juste" a utiliser la methode des "Last Eight Digits of Z"
library/drmath/view/51625 a écrit : using a computer and to force the computer to do this modular exponentiation. We're looking for the
last 8 digits so we will reduce 13^13 mod 10^8 and then take the
answer we get (call it x), and compute: 13^x mod 10^8
Of course, 13^x will be too large to compute (even though x will be
significantly smaller than 13^13 - recall that x is only the last 8
digits of 13^13) unless we force the computer to do the exponentiation
modularly.
Par exemple, en Maple, on triche avec :
> 13^13;
302875106592253
> 13 &^ % mod 10^8;
88549053
> 13 &^ % mod 10^8;
44325053
> 13 &^ % mod 10^8;
84645053
> 13 &^ % mod 10^8;
27045053
> 13 &^ % mod 10^8;
95045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053

C'est a dire, pour des tours de 3, que les 167 derniers chiffres de Graham sont

73228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262464195387

Non ?

Cela dit, je vois toujours pas trop le but, sur un forum pour prepas..
Lycée Masséna (Pcsi-PC*)
École polytechnique (X2015)
Université de Tokyo/Tohoku - Astrophysique

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