Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. mai 21, 2019 12:27 pm

les anciennes récoltes en pdf : https://drive.google.com/file/d/1aZB_2U ... NgICH/view

les fraîches (pas encore tombé) :

-38 : Inégalité de Jensen +

-44 : la fonction factorinus

-52,53 : une histoire de poids

-63 : doublement classique+

-64 : une histoire de mod borné

-66 : équa diff non linéaire

les nouvelles :

82 : Analyse diffèrentielle

129 : CNS de bijectivité

130 : Avec ou sans super calculateur ?

131 : Avec ou sans super calculateur 2

132 : Avec ou sans super calculateur 3


139 : l'improbable résultat 2

144 : polynôme et permutation 2

147 : minimisation 3

149 : racine fonctionnelle

150 : racine fonctionnelle 2


pause crypto

154 : miracle algébrique (3) ?

158 : opération et composition (version finie) tombé par Nabuco

159 : opération et composition (version infinie)
tombé par Nabuco

160 : polynôme et permutation

-169 : transivité infini

-173 : calcul de borne

-177 : compact radin

-178 : compact généreux

-179 : dérivé en milieu hostile


-180 : principe de promiscuité

182 : les groupes unis

-183 : calcul transitif

-185 : toujours avec les idéaux

-186 : autour de Mobius avec BobbyJoe

-195 : exploration équivalence faible

-197 : calcul équivalent

-198 : transivité et associativité

-199 : indice pour le 195 ?

-204 : la discount continuité

-205 : un classique ?

-208 : étonnement analytique ?

-209 : addition modulaire

-211 : calcul exact avec la partie entière

-212 : calcul exact avec la partie entière

-213 : calcul exact avec la partie entière


-214 : récurrence continue

-216 : l'associativité faible

-218 : Théorème du graphe fermée 2.0

-219 : représentation continue réciproque partielle

-222 : continue ou continue pas

-223 : 3-firabilité

-224 : évaluation avec grand nombre


-226 : Algébryse

-228 : the function ? à moitié tombé par GaBuZoMeu

-232 : inégalité uniforme

-233 : domination continue

-234 : Dini pour tous

-235 : Dini pour tous 2

-236 : Dini pour tous 3

-237 : Super Dini


-242 : Analyse miracle

-245 : Weierstrass et Lipschitz

-246 : Injectivité polynomiale

-248 : Fonctions polyssantes


-249 : info-math

-250 : suite récurrente non linéaire

-251 : DSE et liberté tombé par Nabuco

-252 : Super Ascoli+

-253 : théorème d'interversion de limite


-255 : Interversion de limite

-256 : Interversion de limite +


-257 : L'ensemble de Brouwer

-258 : Toute fonction est-elle continue ?


-259 : Composer non entière

-260 : la vraie bijection


-261 : Convergence de suite de racines imbriqués

-262 : Avec ou sans super-claculateur


-263 : neutre et absorbant

-264 : commutativité et point fixe


-265 : Recouvrement minimal clin d'oeil à GBZM

-266 : Commutativité et composition version fini


-268 : entiers premiers

-271 : fonction sous-lipschitzienne

-272 : vraie bijection+ QO

-273 : inégalité circulaire

-274 : inégalité circulaire+


-275 : compatibilité polynomiale

-276 : sous-compatibilité polynomiale

-277 : sosu-compatibilité polynomiale


-278 : le géomètre VS l'horloger

-279 : suite récurrente non linéaire

-280 : suite récurrente non linéaire


-281 : suite récurrente non linéaire

-282 : suite récurrente non linéaire


-283 : nombre univers

-284 : suite de nombre univers


-285 : nombre univers universel QO

-286 : nombre non-univers
QO

-287 : nombre phobique

-288 : nombre phobique


-289 : inégalité de Jensen+ (bis)

-290 : une question de bijectivité

-291 : caractérisation séquentielle des sigmas-compacts

-292 : borne sur le cardinal des sigma-compacts


-293 : involution continue

-294 : l'inversion est-elle continue ?
Modifié en dernier par Dattier le mer. juin 05, 2019 10:56 pm, modifié 7 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. mai 21, 2019 12:36 pm

oty20 a écrit :
mar. mai 21, 2019 10:31 am
Avez-vous une solution ?
Je rappelle mon objectif : c'est d'avoir des énigmes avec une solution de quelques lignes tellement astucieuses quelle résiste à la sagacité des cueilleurs.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » mar. mai 21, 2019 12:51 pm

158 : en prenant g et f constante H(x,y)=x pour tout x,y, i.e. pour tout f,g f(g(a))=f(a) ce qui est absurde pour f=id a=0 g=1.
159 : pour les fonctions constantes on obtient H(x,y)=x pour x,y dans [0,1], i.e. pour tout f,g f(g(a))=f(a) pour f=id, pour tout g pour tout a g(a)=a pour a=0 et g=1-id c'est absurde


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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. mai 21, 2019 6:59 pm

289 : inégalité de Jensen+ (bis)
Soient $f \in C([0,1])$ et $g \in C^2(f([0,1]))$.
A-t-on $$\left|\int_0^1g(f(x))\text{d}x-g\left(\int_0^1 f(x) \text{d}x\right)\right| \leq 2 \max(|g''|)\times \max(|f|) \times (\max(f)-\min(f))$$

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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » mar. mai 21, 2019 10:31 pm

Nabuco a écrit :
mar. mai 21, 2019 11:00 am
Bon en fait en regardant ce que vaut e1 on peut conclure. Notons que si on prend la suite égale à 1 ça vaut phi, si on prend la suite (en) valant 2 donne 2
Soit (en) une suite de 1 ou 2, et a la racine moche
Si e1 vaut 1 a est entre rac(1+phi)=phi et rac(1+2)
Si e2 vaut 2 a est entre rac(2+phi) et rac(2+2)=2
Bilan a ne peut pas appartenir à rac(3), rac(2+phi)
Bravo! j'avais fait le même constatation et je me doutais bien que cela ne pouvait être vrai, mais je n'ai pas pu conclure.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Zak_ » jeu. mai 23, 2019 10:16 pm

225 : Impossible. On va d'abord voir tout ça pour une fonction polynomiale. (Si on ne peut qu'utiliser les opérations (+,-,x)). Si on peut exprimer R qu'avec (+,-,x), alors R s'exprime comme un polynôme à coefficient dans $ \mathbb{Q} $. Soit $ P \in \mathbb{Q}[X] $ tel que $ \forall x \in \mathbb{Q}(\sqrt2), R(x)=P(x) $. Alors si $ q \in \mathbb{Q} $, on a $ R(q) = P(q) = q $. Donc en fait $ P = X $ puisqu'il coincide avec $ X $ sur une infinité de valeur. Très clairement cela n'est pas possible car R n'envoie pas $ \sqrt2 $ sur lui-même.
Maintenant, si on s'autorise aussi /, on est dans le cas des fractions rationnelles. Soit $ (P,Q) \in \mathbb{Q}[X] $ tel que $ \forall x \in \mathbb{Q}(\sqrt2), R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $. Ici pareil, $ P(q) = qQ(q) $, donc $ P = XQ $ et R correspond à l'identité, absurde.
Enfin, avec E en plus, on va montrer qu'on peut se débarrasser en fait de E dans l'expression de R et se ramener à une fraction rationnelle. Fixons $ r = \sqrt(2) $. bien entendu, il existe une infinité de nombres dans $ \mathbb{Q}(\sqrt2) $ aussi proches de $ r $ que l'on veut. On va montrer que pour $ x $ assez proche, un même "emboitement" de partie entière coïncide forcément en x et en r. Cela se fait aisément par récurrence structurelle sur la "profondeur". Au final, on a que pour tout nombre assez proche de $ r $, $ R $ s'exprime en fait comme une fraction rationnelle. C'est absurde en faisant le même raisonnement que précédemment. Donc R ne peut pas s'exprimer à l'aide des opérations (+,-,x,/,E).


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Re: Les dattes à Dattier

Message par Zak_ » ven. mai 24, 2019 7:01 pm

Je n'avais pas vu. Cela dit ça fournit quand même une preuve totalement différente et plus "bête" on va dire. Comment deviner que R n'est pas continu ? C'est assez astucieux si ce n'est que ça vient peut-être d'une certaine culture mathématique sur la continuité.

btsix
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Re: Les dattes à Dattier

Message par btsix » ven. mai 24, 2019 8:00 pm

Peut-être que l'énoncé de cet exercice (que je n'ai jamais fait) m'a aidé inconsciemment :
Soit $ f $ la fonction de $ ]0,1[ $ dans $ \mathbb{R} $ définie par : si $ x $ est irrationnel, alors $ f(x)=0 $, et si $ x = \frac{p}{q} $ avec $ (p,q)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}^* $ et $ p\wedge q=1 $, alors $ f(x) = \frac{1}{q} $. Montrer que f est continue en tout point irrationnel et discontinue en tout point rationnel.
De mémoire, j'avais cherché un invariant vérifié par toutes les fonctions composées de $ + $, $ - $, $ \times $,$ / $,$ E $ et j'avais pensé à la continuité, mais je ne savais pas à cet instant que $ R $ n'était pas "continu".

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Message par Zak_ » ven. mai 24, 2019 8:10 pm

Oui, c'est très élégant comme tu as fait x)

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » ven. mai 24, 2019 8:37 pm

Zak_ a écrit :
ven. mai 24, 2019 7:01 pm
C'est assez astucieux si ce n'est que ça vient peut-être d'une certaine culture mathématique sur la continuité.
La culture mathématique cela se construit, avant Dirichlet on ne savait pas que l'on pouvait utiliser l'analyse pour prouver des résultats d'arithmétiques, maintenant cela est devenu "classique".

Les maths c'est avant tout cela des rapprochement improbable en vu d'un objectif encore jamais atteint.

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Message par Dattier » ven. mai 24, 2019 8:52 pm

@Btsix : penses-tu que pour le théorème de Fermat-Wiles, il puisse exister une preuve courte (une dizaine de lignes) mais tellement astucieuse quelle échappe pour l'instant à la sagacité des chercheurs ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par btsix » ven. mai 24, 2019 10:00 pm

Une intelligence collective composée de nombreux génies s'y est cassé les dents pendant plus de 300 ans. Donc non pas 10 lignes. Mais moins que ce qu'a fait Wiles, oui peut-être.
Modifié en dernier par btsix le ven. mai 24, 2019 10:39 pm, modifié 1 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » ven. mai 24, 2019 10:15 pm

C'est tout le but de ce fil, convaincre que cela est possible, et pour cela construire un tel problème.

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