Les dattes à Dattier

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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » 27 avr. 2018 12:28

Exo 101 :

Bon, j'ai montré une conclusion beaucoup plus faible que l'énoncé original.

Par l'absurde, supposons que $(f''_{n})_{n\geq 0}$ soit une suite localement uniformément minorée au sens suivant :
pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R},$ il existe un voisinage de $x:$ $\mathcal{V}(x)$ et une constante $C_{x}$ appartenant à $\mathbb{R}$ tels que $$\forall y\in \mathcal{V}(x), \forall n\in \mathbb{N},\mbox{ } f''_{n}(y)\geq C_{x}.$$
Prenant un segment $I$ (non dégénéré) qui contient (dans son intérieur) une discontinuité de $g.$ Alors par compacité, il existe une constante $C$ appartenant à $\mathbb{R}$ telle que $\displaystyle f''_{n}\geq C$ sur $I.$
La suite $\displaystyle \left(g_{n}:=f_{n}-C\frac{x^{2}}{2} \right)_{n\geq 0}$ est alors une suite de fonctions convexes qui converge simplement sur $I.$
Ainsi, il y a CV uniforme sur tout compact de $I$ et en particulier, la limite $\displaystyle g-C\frac{x^{2}}{2}$ est continue sur l'intérieur de $I$ i.e. $g$ continue sur l'intérieur de $I,$ ce qui est impossible!

Ainsi, il existe un réel $x$, une suite de points $(x_{n})$ convergeant vers $x$ ainsi qu'une extractrice $(\phi(n))$ tels que $$\lim_{n\rightarrow +\infty}f''_{\phi(n)}(x_{n})=-\infty.$$

Bref, je ne sais pas... Je vais réfléchir...

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Thinking » 06 mai 2018 01:03

Solution 86:
SPOILER:
Bah oui, puisque $$ \pi(3000)+1<500 $$, donc on pouvait même baisser la borne à $$ 432 $$...

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Zetary » 06 mai 2018 22:38

SPOILER:
Si P n'a pas de racines, il n'est pas surjectif, et s'il en a une, il en a deux (par division euclidienne) donc n'est pas injectif

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » 07 mai 2018 08:15

(X-3)(X-2)(X-2) dans F7

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » 07 mai 2018 10:45

On prend P=X^3-3aX avec a qui n est pas un carré dans Fp. P est injectif sinon P-b admet une racine double pour un certain b donc P' admet un zéro et donc a est un carré. Par cardinalité c est bijectif

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Re: Les dattes à Dattier

Message par scarhino » 07 mai 2018 11:30

$
Exo 117 (il y a probablement plus simple)
SPOILER:
On pose :
\begin{equation}
x(0)=x_{0}
\end{equation}
\begin{equation}
y(0)=y_{0}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{dx}{dt} = -(cos(\frac{x-y}{3}) + x)
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{dy}{dt} = -(sin(\frac{x+y}{3}) + y)
\end{equation}
\begin{equation}
V =\frac{dx}{dt}^{2} + \frac{dy}{dt}^{2}
\end{equation}

En calculant $\frac{dV}{dt}$, on obtient
\begin{equation}
\frac{dV}{dt} \le -\frac{V}{3}
\end{equation}

donc V est majoré par une exponentielle décroissante, donc $\frac{dx}{dt}$ et $\frac{dy}{dt}$ sont intégrables, donc x et y convergent en l'infini.
Ils convergent vers une solution de l'équation (on a donc existence d'une solution).


Soient maintenant (x1,y1) et (x2,y2) deux solutions de l'équa diff avec des conditions initiales différentes.
On pose
\begin{equation}
V = (x1 - x2)^{2} + (y1 - y2)^{2}
\end{equation}
On montre que
\begin{equation}
\frac{dV}{dt} \le -\frac{V}{3}
\end{equation}

Donc V tend vers 0 et (x1,y1) et (x2,y2) ont la même limite.
Les solutions de l'équation de départ étant des points fixes de l'équa diff, on a montré l'unicité.
[\tex] $
Dernière modification par scarhino le 07 mai 2018 12:59, modifié 1 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par scarhino » 07 mai 2018 13:21

Tu veux dire pour montrer qu'on converge vers une solution constante? Je me suis fait la même réflexion au début, mais (sauf erreur), l'argument d'intégrabilité des dérivées suffit à corriger le tir

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » 07 mai 2018 22:16

Pour le 116 l application que je considérais était
g(x)=f(x)-f(b)-f((x+b)/2)(x-b) de dérivée positive car une fonction convexe est au dessus de ses tangentes

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » 07 mai 2018 22:27

104
Fn valant exp(-x) sur [0,1-1/n] constante sur le reste Cvu vers exp(-x) mais n est clairement pas strictement convexe donc on n a pas l ouverture.
105 l inégalité de convexité passe à la limite (même simple) d où la fermeture

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » 08 mai 2018 14:31

En dérivant on a f'(x)-f'((x+b)/2)-f''((x+b)/2)(x-b)/2 qui est positive car f'(x)>=f''((x+b)/2)(x-(x+b)/2)+f'((x+b)/2) qui est juste une inégalité par rapport à la tangente si je ne m abuse

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