Les dattes à Dattier
Re: Les dattes à Dattier
Exo 101 :
Bon, j'ai montré une conclusion beaucoup plus faible que l'énoncé original.
Par l'absurde, supposons que $(f''_{n})_{n\geq 0}$ soit une suite localement uniformément minorée au sens suivant :
pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R},$ il existe un voisinage de $x:$ $\mathcal{V}(x)$ et une constante $C_{x}$ appartenant à $\mathbb{R}$ tels que $$\forall y\in \mathcal{V}(x), \forall n\in \mathbb{N},\mbox{ } f''_{n}(y)\geq C_{x}.$$
Prenant un segment $I$ (non dégénéré) qui contient (dans son intérieur) une discontinuité de $g.$ Alors par compacité, il existe une constante $C$ appartenant à $\mathbb{R}$ telle que $\displaystyle f''_{n}\geq C$ sur $I.$
La suite $\displaystyle \left(g_{n}:=f_{n}-C\frac{x^{2}}{2} \right)_{n\geq 0}$ est alors une suite de fonctions convexes qui converge simplement sur $I.$
Ainsi, il y a CV uniforme sur tout compact de $I$ et en particulier, la limite $\displaystyle g-C\frac{x^{2}}{2}$ est continue sur l'intérieur de $I$ i.e. $g$ continue sur l'intérieur de $I,$ ce qui est impossible!
Ainsi, il existe un réel $x$, une suite de points $(x_{n})$ convergeant vers $x$ ainsi qu'une extractrice $(\phi(n))$ tels que $$\lim_{n\rightarrow +\infty}f''_{\phi(n)}(x_{n})=-\infty.$$
Bref, je ne sais pas... Je vais réfléchir...
Bon, j'ai montré une conclusion beaucoup plus faible que l'énoncé original.
Par l'absurde, supposons que $(f''_{n})_{n\geq 0}$ soit une suite localement uniformément minorée au sens suivant :
pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R},$ il existe un voisinage de $x:$ $\mathcal{V}(x)$ et une constante $C_{x}$ appartenant à $\mathbb{R}$ tels que $$\forall y\in \mathcal{V}(x), \forall n\in \mathbb{N},\mbox{ } f''_{n}(y)\geq C_{x}.$$
Prenant un segment $I$ (non dégénéré) qui contient (dans son intérieur) une discontinuité de $g.$ Alors par compacité, il existe une constante $C$ appartenant à $\mathbb{R}$ telle que $\displaystyle f''_{n}\geq C$ sur $I.$
La suite $\displaystyle \left(g_{n}:=f_{n}-C\frac{x^{2}}{2} \right)_{n\geq 0}$ est alors une suite de fonctions convexes qui converge simplement sur $I.$
Ainsi, il y a CV uniforme sur tout compact de $I$ et en particulier, la limite $\displaystyle g-C\frac{x^{2}}{2}$ est continue sur l'intérieur de $I$ i.e. $g$ continue sur l'intérieur de $I,$ ce qui est impossible!
Ainsi, il existe un réel $x$, une suite de points $(x_{n})$ convergeant vers $x$ ainsi qu'une extractrice $(\phi(n))$ tels que $$\lim_{n\rightarrow +\infty}f''_{\phi(n)}(x_{n})=-\infty.$$
Bref, je ne sais pas... Je vais réfléchir...
Re: Les dattes à Dattier
Solution 86:
SPOILER:
Re: Les dattes à Dattier
SPOILER:
Re: Les dattes à Dattier
(X-3)(X-2)(X-2) dans F7
Re: Les dattes à Dattier
On prend P=X^3-3aX avec a qui n est pas un carré dans Fp. P est injectif sinon P-b admet une racine double pour un certain b donc P' admet un zéro et donc a est un carré. Par cardinalité c est bijectif
Re: Les dattes à Dattier
$
Exo 117 (il y a probablement plus simple)
[\tex] $
Exo 117 (il y a probablement plus simple)
SPOILER:
Dernière modification par scarhino le 07 mai 2018 12:59, modifié 1 fois.
Re: Les dattes à Dattier
Tu veux dire pour montrer qu'on converge vers une solution constante? Je me suis fait la même réflexion au début, mais (sauf erreur), l'argument d'intégrabilité des dérivées suffit à corriger le tir
Re: Les dattes à Dattier
Pour le 116 l application que je considérais était
g(x)=f(x)-f(b)-f((x+b)/2)(x-b) de dérivée positive car une fonction convexe est au dessus de ses tangentes
g(x)=f(x)-f(b)-f((x+b)/2)(x-b) de dérivée positive car une fonction convexe est au dessus de ses tangentes
Re: Les dattes à Dattier
104
Fn valant exp(-x) sur [0,1-1/n] constante sur le reste Cvu vers exp(-x) mais n est clairement pas strictement convexe donc on n a pas l ouverture.
105 l inégalité de convexité passe à la limite (même simple) d où la fermeture
Fn valant exp(-x) sur [0,1-1/n] constante sur le reste Cvu vers exp(-x) mais n est clairement pas strictement convexe donc on n a pas l ouverture.
105 l inégalité de convexité passe à la limite (même simple) d où la fermeture
Re: Les dattes à Dattier
En dérivant on a f'(x)-f'((x+b)/2)-f''((x+b)/2)(x-b)/2 qui est positive car f'(x)>=f''((x+b)/2)(x-(x+b)/2)+f'((x+b)/2) qui est juste une inégalité par rapport à la tangente si je ne m abuse