Posons $ A $ la matrice symétrique définie positive de taille $ n $ qui vaut 2 sur la diagonale et 0 ailleurs. Posons $ \vec{b} $ le vecteur colonne de taille $ n $ et dont la $ i $eme composante vaut $ i $. On pose la fonctionnelle:
$$
\psi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\\
\vec{x}\mapsto \frac{1}{2}\vec{x}^\top A\vec{x}-\vec{b}^{\top}\vec{x}.
$$
Le problème revient à trouver le minimum de $ \psi $. On vérifie aisément que $ \psi $ est continue sur $ \mathbb{R}^n $, et que $ \psi(x) $ tend vers $ +\infty $ quand $ \lVert\vec{x}\rVert $ tend vers $ +\infty $. Donc $ \psi $ admet au moins un minimum. De plus $ \psi $ est strictement convexe donc ce minimum est unique. En calculant la différentielle de $ \psi $, on obtient
$$
\mathrm{d}\psi(\vec{x})(\vec{h})=\vec{h}^\top(A\vec{x}-\vec{b})
$$
Au point où le minimum de $ \psi $ est atteint, cette valeur s'annule pour tout $ \vec{h} $. Donc, le minimum est atteint en $ \vec{x}=A^{-1}\vec{b} $.
Revenons au cas particulier. On a donc ue le minimum est atteint quand $ x_i=i/2 $. Et le minimum est $ -\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}i^2 $.