Les dattes à Dattier

[oty20]

juste pour explication , la solution présenter par Mr Siméon au cas ou elle semblerait parachuté

SPOILER:

si $f$ existe alors pour $ A=0_{n} $ on obtient $ f(0,0,...,0)=0 $ , d'ou si on construit une matrice dans le $ det(A) $ est non nul (inversible) , et la trace de sa k-ieme puissances , pour $ k \in [[1,n-1]] $ est nul on aboutirait a une contradiction , deja une matrice candidate ne doit pas verifier $ Tr(A^{n}) \neq 0 $ , car sinon classiquement elle serait nilpotente et son det serait nule , on aboutirait pas a une contradiction ! pour se fixer les idées travaillant dans le corps $ \mathbb{C} $ , toutes les matrices a coefficients complexes sont trigonalisables , alors il nous faut une matrice telle que pour tout k dans [[1,n-1]] $ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{k}=0 $ avec les $ \lambda_{i} $ valeurs propres non nécessairement distinctes , en écrivant $ Tr(A^{n})=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{n} \neq 0 $ on pourrait choisir $ \lambda_{j}=w_{j}=\exp(\frac{2i j\pi}{n}) $ , qui fixe $ Tr(A^{n})=1 $ , d'autant plus $ \sum_{j=1}^{k} w^{jk}=0 $ , car il est impossible que n|k , puisque k < n , maintenant avec un peu de culture , les matrices de permutations sont de bonnes candidate en particulier celles associées a un cycle de longuer $ n $ , car leur spectre est de la forme recherché

[V@J]

Bonjour,

Je n'étais pas venu traîner dans le coin depuis des lustres, il est amusant et agréable de tomber sur un fil de discussion tel que celui-ci. Du coup, j'en ai profité pour regarder quelques uns des exercices non résolus qui dattent d'il y a longtemps.

Énoncé 2 : polynômes à la mod

SPOILER:

Calculer $ \lim \limits_{n\rightarrow \infty} P_n(X) \mod (X^2+1)^2 $ avec $ P_n(X)=\sum\limits_{k=0}^n \frac{X^k}{k!} $.

La limite recherchée est : $$ \dfrac{\cos(1) + \sin(1) - \cos(1) X + 3 \sin(1) X + \sin(1) X^2 - \cos(1) X^3 \sin(1) X^3}{2}. $$

Preuve :

On considère la base $ (1,X,X^2,X^3) $ de l'espace vectoriel $ E = \mathbb{R}[X] / (X^2+1)^2 $. Dans $ E $ muni de cette base, la multiplication par $ X $ est une application linéaire que représente la matrice $ M = \begin{pmatrix}0 & 0& 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix} $. La limite recherchée est donc $ \begin{pmatrix}1 & X & X^2 & X^3\end{pmatrix}.\exp(M) . \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $, ce que l'oncalcule en trigonalisant $ M $ comme suit (les calculs sont conceptuellement simples mais fastidieux).

Puisque $ M $ a pour polynôme caractéristique $ \chi_M(X) = (X^2+1)^2 $, ses valeurs propres sont $ \pm i $.
Un simple calcul de vecteurs propres montre que $ P = \begin{pmatrix} -i & -1 & i & -1 \\ 1 & -2 i & 1 & 2i \\ -i & 1 & i & 1 \\ 1 &0 & 1 & 0\end{pmatrix} $ est une base de trigonalisation de $ M $, avec $ P^{-1} M P = \begin{pmatrix} -i, 1, 0, 0 \\ 0, -i, 0, 0, \\ 0, 0, i, 1 \\ 0, 0, 0, i\end{pmatrix} $.
En posant $ \Delta = P^{-1} . M P. $, on trouve $ \exp(\Delta) = \begin{pmatrix} \exp(-i) & \exp(-i) & 0 & 0 \\ 0 & \exp(-i) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \exp(i) & \exp(i) \\ 0 & 0 & 0 & \exp(i)\end{pmatrix} $, d'où l'on déduit que $ \begin{pmatrix}1 & X & X^2 & X^3\end{pmatrix}.\exp(M) . \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & X & X^2 & X^3\end{pmatrix}.P . \exp(\Delta) . P^{-1} . \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \dfrac{\cos(1) + \sin(1) - \cos(1) X + 3 \sin(1) X + \sin(1) X^2 - \cos(1) X^3 \sin(1) X^3}{2}. $

[V@J]

Énoncé 9 : polynôme et permutation

SPOILER:

Soient $ p $ un entier premier impair, $ P\in(\mathbb Z/p\mathbb Z)[x] $ tel que $ \text{deg}(P)<p $ et $ P(x)=a_0+...+a_{p-1}x^{p-1} $
A-t-on si $ a_{p-1}\neq 0 $ alors la fonction polynôme associé à $ P $ n'est pas une permutation de $ \mathbb Z/p\mathbb Z $ ?

La réponse est oui !
En effet, puisque nul polynôme de degré $ d \leqslant p-1 $ n'a $ p $ racines, chaque fonction $ f : \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ est représentée par un unique polynôme de degré $ d \leqslant p-1 $. En utilisant le petit théorème de Fermat, il s'avère que ce polynôme est $ P_f(X) = \sum_{k=0}^{p-1} (1-(X-k)^{p-1}) f(k) $. Par conséquent, si $ f $ est une permutation de $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $, le coefficient de degré $ p-1 $ de $ P_f(X) $ est $ -\sum_{k=0}^{p-1} f(k) = -\sum_{k=0}^{p-1} k = -p(p-1)/2 = 0 $ (mod $ p $), car $ (p-1)/2 $ est un entier.

[V@J]

Et enfin :

Énoncé 11 : critère de permutabilité

SPOILER:

$ \text{ Soit f une fonction de }\mathbb Z_p \text{ dans lui même, avec p premier impair.}
\\\text{A-t-on f permutation ssi card}(f^{−1}({0}))\in [1,p-1], \text{ et } \forall k\in [1,p−2]\cap \mathbb N,\sum \limits_{a\in Z_p} (f(a))^k \mod p =0 \text{ ? } $

La réponse est oui !

Preuve :
Tout d'abord, si $ f $ est une permutation, alors $ \text{card}(f^{-1}(0)) = 1 $. De plus, il existe un $ b \in \mathbb{Z}_p $ dont l'ordre multiplicatif est $ p-1 $ (c'est un lemme standard). Par conséquent, pour tout $ k \in \{1,2,\ldots,p-2\} $, on a bien $ \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} f(a)^k = \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} a^k = S_k $, avec $ b^k S_k = \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} (a b)^k = S_k $, de sorte que $ (b^k-1) S_k = 0 $, avec $ b^k \neq 0 $, donc $ S_k = 0 $.

Réciproquement, supposons que $ \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} f(a)^k = 0 $ pour tout $ k \in \{1,2,\ldots,p-2\} $, que $ \text{card}(f^{-1}(0)) \geqslant 1 $ et que $ f $ n'est pas une permutation. Alors $ f $ n'est pas surjective, donc il existe $ k \in \mathbb{Z}_p $ sans antécédent par $ f $ (et on a forcément $ k \neq 0 $). Soit alors $ \sigma $ la permutation de $ \mathbb{Z}_p $ qui échange $ 0 $ et $ k $, et telle que tout autre élément de $ \mathbb{Z}_p $ est point fixe de $ \sigma $. Grâce à l'exercice 9, il existe un polynôme $ P_\sigma(X) $ de degré $ d \leqslant p-2 $ et tel que $ P_\sigma(a) = \sigma(a) $ pour tout $ a \in \mathbb{Z}_p $.

Notons ici que $ \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} f(a)^0 = p = 0 \pmod{p} $. Puisque $ P_\sigma(X) $ est de degré $ d \leqslant p-2 $, on sait donc que $ \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} f(a) = \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} P(f(a)) = 0 \pmod{p} $. Donc $ 0 = \sum_{a \in \mathbb{Z}_p} P(f(a)) - f(a) = k (\text{card}(f^{-1}(0)) - \text{card}(f^{-1}(k))) = k ~ \text{card}(f^{-1}(0)) \pmod{p} $, donc $ \text{card}(f^{-1}(0)) = p $, ce qui conclut la preuve.

[siro]

Bonus :
$ f $ est 1-lipschitiz de $ \mathbb R^n $ euclidien dans lui même, alors l'ensemble des point fixes de $ f $ formeraient un convexe.

J'espère que je suis pas trop rouillé.


Soit $ x $ et $ y $ deux points fixes de f. Alors pour tout$ z = \epsilon x + (1- \epsilon) y $ (où $ \epsilon \in [0,1] $), on a $ |f(x) - f(z)| = |x - f(z)| \leq |x - z| $ ; idem pour y à la place de $ x $. Donc $ f(z) = z $ (il ne peut qu'être sur l'intersection entre les deux sphères de centre $ x $ et $ y $ et de rayon $ \epsilon $ et $ 1-\epsilon $ qui ne se coupent qu'en un point : $ z $), donc $ z $ est un point fixe, donc $ fix(f) $ est un convexe.

[siro]

C'est assez courant d'utiliser des résultats de convexité pour des ensembles de mesures (invariantes notamment) en systèmes dynamiques (et a priori l'espace des mesures est pas vraiment un espace euclidien). (Du coup j'ai l'habitude de ce genre de questions )

Après c'pas exactement des fonctions 1-lip qu'on étudie.

Un exemple ici : http://mathfond.math.upmc.fr/2017-18/fi ... 18)(s).pdf (théorème 3.6.1)

[siro]

Et heu vous appelez quoi "f-exp" ? f composé avec exp ?

@Siro : Bravo.

C'est un résultat qui est pour moi très surprenant, je pense qu'avec plus de travail on peut avoir des résultats dans le cas non euclidiens.

J'imagine que l'espace doit rester "pas trop bizarre" (je verrais mal dans un espace non séparé un tel théorème, après je suis pas spécialiste ).

Par exemple sur une sphère S^n, êtes-vous sûr de ce théorème ? (Ne pourrait-on pas avoir des soucis sur l'intersection des sphères de centre x et de rayon |z-x| et y de rayon |z-y| notamment quand x et y sont aux pôles ? )

[darklol]

Énoncé 76:

SPOILER:

Oui: sinon on pourrait extraire de $ (|x_n|) $ une sous-suite bornée, donc on pourrait ré-extraire de $ (x_n) $ une sous-suite qui converge, ce qui est incompatible avec l'inégalité demandée étant donné que le terme de gauche tendrait vers $ 0 $ quand $ i \to \infty, j \to \infty $, tandis que le terme de droite tend vers $ 1 $.

[siro]

Je m'incruste un petit peu, Dattier si cela vous pose problème je peux déplacer mon message ailleurs.

Tiré d'images des maths : http://images.math.cnrs.fr/Novembre-2017-4e-defi.html

"On inscrit dans chaque case d’une grille de 3×3 un nombre, de telle sorte que le produit des 4 nombres dans les carrés de taille 2×2 soit égal à 2 et le produit des 3 nombres de chaque ligne ou colonne soit égal à 1. Quel est le nombre dans la case centrale de la grille ?"

Question 1 : résoudre le problème.
Question bonus : après avoir trouvé un nombre convenant : ce nombre est-il unique ? (Dit autrement, existe-il des matrices moins symétriques qui conviennent ?)

[darklol]

Je m'incruste un petit peu, Dattier si cela vous pose problème je peux déplacer mon message ailleurs.

Tiré d'images des maths : http://images.math.cnrs.fr/Novembre-2017-4e-defi.html

"On inscrit dans chaque case d’une grille de 3×3 un nombre, de telle sorte que le produit des 4 nombres dans les carrés de taille 2×2 soit égal à 2 et le produit des 3 nombres de chaque ligne ou colonne soit égal à 1. Quel est le nombre dans la case centrale de la grille ?"

Question 1 : résoudre le problème.
Question bonus : après avoir trouvé un nombre convenant : ce nombre est-il unique ? (Dit autrement, existe-il des matrices moins symétriques qui conviennent ?)

Je pense (ce n’est que mon avis) que ça aurait plutôt sa place dans un topic du style « exercices de pré-rentrée MPSI ». Je crois que le but de Dattier est d’enrober des affirmations « simples » pour les transformer en exercices à « astuces ». Mais bon ceci dit plusieurs exercices de Dattier pourraient aussi trouver leur place dans le topic sus-cité.