Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Dattier
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Message par Dattier » sam. juil. 08, 2017 7:21 pm

Salut,

Je vais mettre dans un même fil, quelques vieux énoncés, puis je ferais suivre par des nouveaux.

énoncé 1 : classique intégrale
Est-il exact que \( \{f\in C^0([0,1],\mathbb R^*)|\int_0^1 (f(x))^n\text{d}x=(\int_0^1 f(x)\text{d}x)^n\}=\{f|\exists c\in\mathbb R^*, \forall x\in \mathbb R,f(x)=c\} \) ?
Avec \( n\in\mathbb N, n>1 \).


énoncé 2 : polynômes à la mod
Calculer \( \lim \limits_{n\rightarrow \infty} P_n(X) \mod (X^2+1)^2 \) avec \( P_n(X)=\sum\limits_{k=0}^n \frac{X^k}{k!} \).


énoncé 3 : arithmétiquement votre
A-t-on, \( (2^{n!}-1)2^n \mod n!=0 \) ?


énoncé 4 : suite récurrente non linéaire
Déterminer le terme général de ces suites :

\( u_{n+1}=u_{n}^2-2,u_0\in\mathbb R \)

\( u_{n+1}=\frac{u_n^2-2}{2u_n-3},u_0\in \mathbb R \)


énoncé 5 : série circulaire
La série converge-t-elle : \( \sum \limits_{k=2}^n \cos(\frac{k^2+1}{k-1})\frac{1}{\sqrt k} \) ?

Cordialement.
Modifié en dernier par Dattier le sam. août 19, 2017 4:14 pm, modifié 1 fois.
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Jarjar666
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Jarjar666 » dim. juil. 09, 2017 11:28 am

Pour l'exo 4) j'ai pose la suite V(n) = U(n)/2 et puis on se ramène a un cosinus (hyperbolique pour |U(0)| >1 ) en posant V(0) = cos(@).

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Dattier
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Message par Dattier » dim. juil. 09, 2017 12:16 pm

Bravo.

Astuce énoncé 4-1 :
SPOILER:
En fait on peut dire plus simplement que \( u_n=a^{2^n}+a^{-2^n} \) avec \( a \) tel que \( u_0=a+\frac{1}{a} \)
Modifié en dernier par Dattier le dim. juil. 09, 2017 5:46 pm, modifié 2 fois.
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Message par Dattier » dim. juil. 09, 2017 12:36 pm

énoncé 6 : polynômes composites
On pose \( P(x)=x^2+1 \) déterminer dans \( \mathbb Z/(2^{89}-1)\mathbb Z \), la dérivée \( 101^e \) de \( P^{101} \) en 1. (\( P^2(x)=P(P(x)) \))


énoncé 7 : une histoire de mod
A-t-on pour tout \( n \in \mathbb N \) si \( a \mod 2=1 \) et \( a|n^2+1 \) alors \( a \mod 4=1 \) ?


énoncé 8 : inégalité bizarre
Soit \( f\in C^2([0,1]) \), a-t-on \( 8(\max(f)-\min(f))\geq \min(f'') \) ?


énoncé 9 : polynôme et permutation
Soient \( p \) un entier premier impair, \( P\in(\mathbb Z/p\mathbb Z)[x] \) tel que \( \text{deg}(P)<p \) et \( P(x)=a_0+...+a_{p-1}x^{p-1} \)
A-t-on si \( a_{p-1}\neq 0 \) alors la fonction polynôme associé à \( P \) n'est pas une permutation de \( \mathbb Z/p\mathbb Z \) ?


énoncé 10 : incroyable mais vrai ?
Soit \( n \) nombre entier plus grand que 5, \( H \) un sous-groupe de \( (\mathbb Z/n\mathbb Z)^* \).
A-t-on si \( a\in H \) avec \( a>2 \) alors \( (a-1)|\sum \limits_{h \in H} n(-\frac{h}{n} \mod a) \) ?
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Message par gchacha » dim. juil. 09, 2017 1:07 pm

L'énoncé 9 est une introduction vers les polynômes de permutation sur les corps finis. Beaucoup d'applications en cryptographie.

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Message par Dattier » dim. juil. 09, 2017 1:11 pm

Si le sujet t'intéresse 2 énoncés que personne n'a encore "officiellement" tombé :


énoncé 11 : critère de permutabilité
\( \text{ Soit f une fonction de }\mathbb Z_p \text{ dans lui même, avec p premier impair.}
\\\text{A-t-on f permutation ssi card}(f^{−1}({0}))\in [1,p-1], \text{ et } \forall k\in [1,p−2]\cap \mathbb N,\sum \limits_{a\in Z_p} (f(a))^k \mod p =0 \text{ ? } \)


énoncé 12 : Diffie-Helmann par les polynômes
\( p=2^j q_1\times q_2\times ...q_n+1 \text{ un nombre premier, avec les } q_i \text{ premiers entre eux et impair}
\\\text{ P un polynôme de deux variables dans } \mathbb F_p[X,Y] \text{ avec b un des éléments primitifs de } \mathbb F_p^* \text{ tel que : }
\\\text{pour tout } k,m\in\mathbb N, b^{k\times m} \mod p=P(b^m,b^k)\mod p. \text{ A-t-on } 2^n \leq \text{degré}(P) ? \)
Modifié en dernier par Dattier le lun. juil. 31, 2017 1:31 pm, modifié 1 fois.
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Message par Jarjar666 » dim. juil. 09, 2017 1:51 pm

Dattier a écrit :
dim. juil. 09, 2017 12:16 pm
Bravo.

En fait on peut dire plus simplement que \( u_n=a^{2^n}+a^{-2^n} \) avec \( a \) tel que \( u_0=a+\frac{1}{a} \).

Effectivement c'est un peu plus joli que ma méthode.
Je vais essayer de faire tes exos qui ont l'air balaise, j'avais juste survolé ton topic jusqu'alors.
En tout cas beau travail.

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Message par Dattier » dim. juil. 09, 2017 1:54 pm

Merci.

PS : ces énigimes permettent d'illustrer la sentence : "ce n'est pas parce que c'est facile à comprendre que c'est facile à trouver"
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Message par Bidoof » dim. juil. 09, 2017 3:42 pm

Salut à tous.

Merci Dattier pour les exercices.

J'ai une idée pour le 5)
SPOILER:
Utiliser le théorème d'Abel.
Contient une erreur.
Modifié en dernier par Bidoof le dim. juil. 09, 2017 4:26 pm, modifié 1 fois.
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Message par Dattier » dim. juil. 09, 2017 3:51 pm

Avec plaisir.

Tu utilises un résultat qui n'est vrai que lorsque la série est positive (ici elle est plus que pas positive, elle est complexe...lol).
Prends par exemple les séries de termes générale (-1)^n et (-1)^n+1/n, ces 2 termes sont équivalents et pourtant il y a une série qui est majorée et l'autre qui tend vers l'infini.
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Message par Bidoof » dim. juil. 09, 2017 4:06 pm

Je me suis mal exprimé, veillez m'excuser, je souhaitais parler de ce résultat : http://www.bibmath.net/dico/index.php?a ... ansfo.html
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Message par Dattier » dim. juil. 09, 2017 4:14 pm

Sans problème on fait tous des erreurs à commencé par moi, le tout c'est de le reconnaître.

Mais, il te faudrait prouver que la série avec les cosinus seul (\( \cos(\frac{k^2+1}{k-1}) \) est majorée, ce qui ne découlerais d'aucun résultat connu en MP, ou alors il faudrait me dire lequel.
Modifié en dernier par Dattier le dim. juil. 09, 2017 4:17 pm, modifié 1 fois.
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Message par Bidoof » dim. juil. 09, 2017 4:17 pm

Pas de souci.

Dans mon spoiler j'ai essayé de montrer que la suite des sommes partielles avec le cosinus (seul) est bornée qu'en dites vous ?
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Message par Dattier » dim. juil. 09, 2017 4:20 pm

L'argument que tu utilises (si j'ai bien compris), c'est que tu as deux séries complexes, dont les termes généraux sont équivalents, tu en déduis que les séries en serait de même nature (convergente ou bornée), c'est bien cela.

Si c'est bien le cas, dans un de mes messages (au-dessus) j'ai donné un contre-exemple, le cadre exact dans lequel marche ce résultat : les séries à termes générales positifs.
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Message par Bidoof » dim. juil. 09, 2017 4:24 pm

Ah oui c'était de ce résultat dont vous parlez ! Je comprends mieux, je vais voir ça merci pour vos explications.
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