Les dattes à Dattier

[siro]

@Siro j'ai compris

SPOILER:

écriture unique en base n, avec n plus grand que tout les coeffs de P

SPOILER:

Il y a un début d'idée. Mais il reste à être un poil plus explicite. D'ailleurs rien ne dit que n la base d'écriture est le nombre de mesures.

J’imagine que les points de mesure dépendent de $ P $ (on ne peut pas choisir n’importe quoi) mais même comme ça l’énoncé me paraît douteux (à première vue, je n’y ai absolument pas réfléchi).

Ouaip, mais l'énoncé fonctionne. Mais faut vraiment "sortir du cadre". (Enfin quand j'ai pigé la méthode j'ai été très très dérouté ; j'ai eu besoin d'indices.)

[siro]

Nope. Mais pas très loin.

(Si on regarde P = 0 et P = X^k avec k non nul, donc la méthode P(P(0)) ça marche pas.)

EDIT : Oui, c'est ça !

SPOILER:

P(1) + 1 > max(a_i) où a_i coeffs de P, donc P(P(1)+1) = a_n...a_0 en base P(1)+1

[siro]

J'ai corrigé.

[BijouRe]

Pour le 96 on peut reprendre la demo de Weierstrass avec les polynômes de Bernstein. La demo probabiliste est assez courte mais c'est lourd quand même ^^
Est-ce qu'il y aurai une autre solution ?

[oty20]

Bonjour,

énoncé 95 : Théorème d'inversion de limite
$ (a_{n,k}) $ double suite réel, qui vérifie $ \forall \epsilon >0, \exists N>0, \forall m,n,k,l \in \mathbb N,\min(m,n,k,l)\geq N, |a_{n,k}-a_{m,l}|\leq \epsilon $.
A-t-on $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \lim\limits_{k\rightarrow \infty} a_{n,k} =\lim\limits_{k\rightarrow \infty} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_{n,k} $ ?

Bonne journée.

j’espère ne pas avoir fait d'erreur fulgurante de raisonnement , je l'ai fait a larache .... D'abord on prend $ n=m $ fixée , on pose $ u_{k}=a_{n,k} $ on a pour tout $ r>0 $ , l'existence d'un rang a partir duquel $ |u_{k}-u_{l}| < r $ ainsi $ (u_{k}) $ est une suite réelle de cauchy donc convergente , notons $ l_{n} $ sa limite .
Maintenant on prend $ l=k $ , en passant a la limite $ k \to \infty $ on obtient : pour tout r > 0 l'existence d'un rang a partir duquel $ l_{n}-l_{m}| < r $ ainsi $ (l_{n}) $ est de cauchy , par suite converge . notons $ l $ sa limite .
Par symétrie on obtient de manière analogue l'existence de la limite du second membre , (on commence $ k=l $ , $ v_{n}=a_{n,k} $) soit $ l' $ la limite du second membre , pour déduire l'égalité :
soit $ r >0 $ , on dispose de N tel que : $ |a_{n,k}-a_{m,l}| < r $ on fixe m,l et On fait tendre k puis n vers l'infinie , on obtient $ min(m,l )>N :~~ |l-a_{m,l}| < r $ on fait tendre maintenant m puis l vers l'infinie , pour tirer $ |l-l'| < r $ ce qui permet de conclure .

[oty20]

qu'elle hypothèse avez-vous ajouté ?

[matmeca_mcf1]

Je propose ceci pour l'inversion de limites. À mon sens, c'est le résultat le plus puissant que l'on puisse obtenir de manière élémentaire (pour une définition appropriée d'élémentaire)
Théorème d'inversion de limite
$ (a_{n,k}) $ double suite réel, qui vérifie
$$
\forall \epsilon >0, \exists N>0, \forall n\in \mathbb N,\forall m,\ell \in \mathbb N,\min(m,\ell)\geq N, \lvert a_{m,n}-a_{\ell,n}\rvert\leq \epsilon \\
\forall m\in\mathbb{N}, a_{m,n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}a_{m,\infty}\in\mathbb{R}
$$
A-t-on
$
\lim\limits_{n\to \infty} \lim\limits_{k\to \infty} a_{n,k} =\lim\limits_{k\to \infty} \lim\limits_{n\to \infty} a_{n,k}
$ ?

C'est assez facile avec la limsup mais elle n'est malheureusement pas au programme de prépa.

[matmeca_mcf1]

Je propose ceci pour l'inversion de limites. À mon sens, c'est le résultat le plus puissant que l'on puisse obtenir de manière élémentaire (pour une définition appropriée d'élémentaire)
Théorème d'inversion de limite
$ (a_{n,k}) $ double suite réel, qui vérifie
$$
\forall \epsilon >0, \exists N>0, \forall n\in \mathbb N,\forall m,\ell \in \mathbb N,\min(m,\ell)\geq N, \lvert a_{m,n}-a_{\ell,n}\rvert\leq \epsilon \\
\forall m\in\mathbb{N}, a_{m,n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}a_{m,\infty}\in\mathbb{R}
$$
A-t-on
$
\lim\limits_{n\to \infty} \lim\limits_{k\to \infty} a_{n,k} =\lim\limits_{k\to \infty} \lim\limits_{n\to \infty} a_{n,k}
$ ?

Prendre $ a_{m,n}= \frac{(-1)^m}{n} $, on est bien dans les conditions de ce résultat sans que $ \lim\limits_{ m\rightarrow \infty} a_{m,n} $ ne soit défini...

Cette suite ne vérifie pas la première condition puisqu'on a $ \lvert a_{m+1,1}-a_{m,1}\rvert=2 $.

[Hibiscus]

énoncé 100 : les points rationnelles du cercle
Trouver tous les points avec les coordonnés rationnelles du cercle trigonométrique.

Je suis une quichasse en maths, mais
Le cercle entier n'est-il pas censé être paramétré rationellement par $ \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)~ , t\in \mathbb{Q} $
En ajoutant le point (-1,0), obtenu par limite en $ +\infty $
(et qu'accessoirement, l'ensemble de ces points rationnels a une propriété de groupe abélien, via la représentation polaire..)

[Hibiscus]

Bah tu pars de (-1,0), tu projettes dans la direction de n'importe quel point du cercle (x,y), sur l'axe des ordonnées, que tu appelles (0,t).. T'as donc tous les points sauf (-1,0), que tu obtiens a posteriori. Non ?
(puisque ta "droite de projection" est y=t(1+x), et le point (x,y) est sur le cercle..)

Rédigé plus mathématiquement si tu préfères, même si j'ai un peu la flemme
Les coordonnées étant fractions rationnelles d’un paramètre, on a bien une paramétrisation rationnelle.
Si t est rationnel, x et y sont des coordonnées d’un point rationnel du cercle. Réciproquement l'équation de la droite de projection
montre qu’un point rationnel du cercle est obtenu à partir d’un paramètre rationnel.
Les points rationnels du cercles sont donc exactement les points obtenus par les formules du post au dessus, à (-1,0) près, par construction.