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Utiliser le théorème d'Abel.
Contient une erreur.

Oui. On considère Taylor avec reste intégral pour $ f(x+h) $ et $ f(x-h) $ que l'on somme.
On applique ensuite quelques inégalités faisant apparaître les extremums des fonctions et on conclut en prenant $ x=h=\frac{1}{2} $.

On pose $ \alpha=max(f), \beta=min(f), \mu=min(f'') $.
D'après Taylor avec reste intégral :
$ f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\int_{x}^{x+h}(x+h-t)f''(t)dt $
et
$ f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\int_{x}^{x-h}(x-h-t)f''(t)dt $.
On somme et on prend $ x=h=\frac{1}{2} $ et on a
$ f(1)+f(0)=2f(\frac{1}{2})+\int_{\frac{1}{2}}^{1}(1-t)f''(t)dt+\int_{0}^{\frac{1}{2}}tf''(t)dt $
donc
$ 2\alpha \geq f(1)+f(0) \geq 2\beta + \frac{1}{8}\mu + \frac{1}{8}\mu $
et on conclut.

J'appelle $ A $ et $ B $ les ensembles dans l'ordre dans lequel tu les as défini. On a immédiatement $ B $ inclu dans $ A $.
Soit $ f \in A $. Quitte à considérer $ -f \in A $, on peut supposer $ f>0 $.
On est dans le cas d'égalité de l'inégalité de Hölder appliquée pour $ f $ et $ g=1 $ donc $ f $ et $ g $ sont colinéaires et on conclut.