Les dattes à Dattier

[noro]

Bravo (le piège c'était de passer par les volumes, qui allonge beaucoup la justification).

j'y ai pensé mais de toutes façons les intégrales multiples ne sont pas au programme de prépa

[BobbyJoe]

Pour la (jamais :p) $203$

SPOILER:

On considère $(X-x)(X-y)(X-z)=X^{3}-\sigma_{1}X^{2}+\sigma_{2}X-\sigma_{3}$ où les $\sigma_{i}$ sont les fonctions élémentaires symétriques de $x,y,z.$
L'inégalité désirée est alors avec ces notations $$\vert \sigma_{1}+\sigma_{3} \vert \leq \vert 1+\sigma_{2} \vert.$$
En évaluant en $1$ et $-1,$ on a
\begin{align*}
1-\sigma_{1}+\sigma_{2}-\sigma_{3} & =(1-x)(1-y)(1-z)\geq 0\\
\mbox{ d'où } \sigma_{1}+\sigma_{3} & \leq 1 +\sigma_{2}.\\
\mbox{Et, } -1-\sigma_{1}-\sigma_{2}-\sigma_{3} & = -(1+x)(1+y)(1+z)\leq 0\\
\mbox{ d'où } \sigma_{1}+\sigma_{3} & \geq -(1 +\sigma_{2}).
\end{align*}
Ainsi, on obtient l'inégalité désirée.

[alvaare]

Salut,

206 : Speedy Gonzalez 1 MP*+
Montrer en 2 lignes que si $f$ bijective continue de $\mathbb R^n$ dans lui même, alors $f^{-1}$ est aussi continue.

Les énigmes marqués speedy Gonzalez, sont des classiques, qu'il faut prouver avec une preuve inédite trés courte.

Cordialement.

Soit $F$ un fermé de $\mathbb{R^n}$, l'image réciproque de $F$ par rapport à $f^{-1}$ est $f(F)$ (bijectivité de $f$). Or $f(F)$ est fermé car $f$ est fermée. Donc $f^{-1}$ est continue.

[alvaare]

207 : Miracle analytique ?
Soit $f$ injective et $k$-lipschitz de $\mathbb R^n$ dans lui même. A-t-on $f(\mathbb R^n)=\mathbb R^n$ ?

Non, on prend $n=1$ et la fonction $arctan$. On a $f(\mathbb{R})=]-\pi/2; \pi/2[$

[alvaare]

201 : pause
A/ Soit $f \in C([0,1])$. A-t-on $$\forall n \in \mathbb N^*, \int_0^1 f(x) \text{d}x=\int_0^1 f(n \times x-E( n\times x))\text{d}x $$ ?

B/ Soit $g,f \in C([0,1],\mathbb R_+)$. A-t-on $$ \int_0^1 f(x) \text{d}x=\int_0^1 \int_0^1 f(g(t)+x-E(g(t)+x))\text{d}x\text{d}t $$ ?


Avec $E$ la partie entière.

A/ On pose $u=nx$,
$$\forall n \in \mathbb N^*, \int_0^1 f(n \times x-E( n\times x))\text{d}x = \frac{1}{n}\int_0^n f(\{u\})\text{d}u = \frac{1}{n}\times n \int_0^1 f(x) \text{d}x = \int_0^1 f(x) \text{d}x$$

B/ On pose $\forall t \in [0, 1], a(t)$ le réel dans $[0, 1[$ tel que $g(t)+x \in \mathbb{Z}$. Alors:
$$\int_0^1 \int_0^1 f(g(t)+x-E(g(t)+x))\text{d}x\text{d}t=\int_0^1 \int_0^{a(t)} f(1-a(t)+x)\text{d}x+\int_0^{1-a(t)} f(x)\text{d}x\text{d}t$$
On pose $u=1-a(t)+x$ dans la première intégrale:
$$\int_0^1 \int_0^1 f(g(t)+x-E(g(t)+x))\text{d}x\text{d}t=\int_0^1 \int_0^1 f(x)\text{d}x\text{d}t= \int_0^1 f(x) \text{d}x$$

[alvaare]

A/ bravo

B/ J'ai un problème car on dirait que tu n'utilises pas le fait que g(t)>=0, or c'est important :
Prends par exemple $$\int_0^1 \sin(x-1-E(x-1))\text{d}x = -\int_0^1 \sin(x) \text{d}x$$

$\forall x \in [0; 1[, E(x-1)=-1$, non?

[LaCompagnieDuPâté]

Je crois que la convention est plutôt de prendre toujours l’entier inférieur.

[alvaare]

Dans ce cas, il me semble que c'est correct.

De toutes manières, le problème est invariant par translation de g, donc l'hypothèse g>=0 ne peut pas être nécessaire.

[BobbyJoe]

J'aimerais bien voir le résultat de la question $ $$206$ démontré sans utiliser le théorème d'invariance de Brouwer....

[matmeca_mcf1]

Si "continue implique graphe fermé" est vraie, la réciproque ne l'est pas. C'est vrai pour les applications linéaires entre espaces complets (théorème de l'application ouverte).

L'application:
$$
\phi\colon[0,2\pi[\to\mathbb{S}^1\\
t\mapsto (\cos(t),\sin(t))
$$
est bijective, continue. Son graphe est fermé, le graphe de sa bijection réciproque (ou inverse) est bien fermé. Mais sa bijection répciproque ou inverse n'est pas continue.