tl;dr
SPOILER:
Oui.
La série intérieure est convergente. On fait un développement asymptotique convenable de la somme partielle de la série extérieure pour montrer qu'elle converge, en effectuant deux sommations par parties.
La série intérieure est convergente. On fait un développement asymptotique convenable de la somme partielle de la série extérieure pour montrer qu'elle converge, en effectuant deux sommations par parties.
SPOILER:
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la série intérieure est convergente puisqu'elle vérifie le critère spécifique des séries alternées. On note $u_n$ sa somme.
$$u_1 = -\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}$$
Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $$u_{n+1} = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1+k}}{\sqrt{n+1+k}} = \sum_{k=2}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+k}}{\sqrt{n+k}} = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+k}}{\sqrt{n+k}} - \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1}} = u_n + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$$
Donc lorsque $N \rightarrow +\infty$,
$$\sum_{n=1}^N u_n = \sum_{n=1}^N \left(u_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (u_{k+1} - u_k) \right) = \sum_{n=1}^N \left(u_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \right)$$
$$ = \sum_{n=1}^N u_1 + \sum_{n=1}^N \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} = Nu_1 + \sum_{1\,\leqslant\, k\,<\,n\,\leqslant\, N} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} = Nu_1 + \sum_{k=1}^{N-1} \sum_{n=k+1}^N \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}$$
$$ = Nu_1 + \sum_{k=1}^{N-1} (N-k)\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} = Nu_1 + N \sum_{k=1}^{N-1}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} - \sum_{k=1}^{N-1}\frac{(-1)^{k}k}{\sqrt{k+1}}$$
$$ = Nu_1 + N\left(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} - \sum_{k=N}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\right) - \sum_{k=1}^{N-1}\frac{(-1)^{k}k}{\sqrt{k+1}} = -N \sum_{k=N}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} - \sum_{k=1}^{N-1}\frac{(-1)^{k}k}{\sqrt{k+1}}$$
$$ = -N \sum_{k=N}^{+\infty}\left(\sum_{p=0}^k (-1)^p - \sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{k+1}} - \sum_{k=1}^{N-1}\left(\sum_{p=0}^k (-1)^p - \sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{k}{\sqrt{k+1}}$$
$$ = -N \left[\sum_{k=N}^{+\infty}\left(\sum_{p=0}^k (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{k+1}} - \sum_{k=N}^{+\infty}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right] - \left[\sum_{k=1}^{N-1}\left(\sum_{p=0}^k (-1)^p\right)\frac{k}{\sqrt{k+1}} - \sum_{k=1}^{N-1}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{k}{\sqrt{k+1}}\right]$$
$$ = -N \left[\sum_{k=N+1}^{+\infty}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{k}} - \sum_{k=N}^{+\infty}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right] - \left[\sum_{k=2}^{N}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \sum_{k=1}^{N-1}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{k}{\sqrt{k+1}}\right]$$
$$ = -N \left[\sum_{k=N+1}^{+\infty}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) - \left(\sum_{p=0}^{N-1} (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right]$$
$$- \left[\sum_{k=2}^{N-1}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\left(\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \frac{k}{\sqrt{k+1}}\right) + \left(\sum_{p=0}^{N-1} (-1)^p\right)\frac{N-1}{\sqrt{N}} - \left(\sum_{p=0}^{1-1} (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{1+1}} \right]$$
$$ = -N \left[\sum_{k=N+1}^{+\infty}\frac{1-(-1)^k}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) - \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right]$$
$$- \left[\sum_{k=2}^{N-1}\frac{1-(-1)^k}{2}\left(\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \frac{k}{\sqrt{k+1}}\right) + \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{N-1}{\sqrt{N}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right]$$
$$ = -N \left[\frac{1}{2}\sum_{k=N+1}^{+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) - \frac{1}{2}\sum_{k=N+1}^{+\infty}(-1)^k\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) - \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right]$$
$$- \left[\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{N-1}\left(\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \frac{k}{\sqrt{k+1}}\right) - \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{N-1}(-1)^k\left(\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \frac{k}{\sqrt{k+1}}\right)+ \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{N-1}{\sqrt{N}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right]$$
$$ = -N \left[\frac{1}{2\sqrt{N+1}} - \frac{1}{2}\sum_{k=N+1}^{+\infty}(-1)^k\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) - \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right]$$
$$- \left[\frac{1}{2}\left(\frac{2-1}{\sqrt{2}} - \frac{N-1}{\sqrt{N}}\right) - \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{N-1}(-1)^k\left(\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \frac{k}{\sqrt{k+1}}\right)+ \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{N-1}{\sqrt{N}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right]$$
$$ = -N \left[ -\frac{1}{2}\sum_{k=N+1}^{+\infty}(-1)^k\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) + \frac{(-1)^N}{2\sqrt{N+1}}\right]$$
$$- \left[\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{N-1}{2\sqrt{N}} - \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{N-1}(-1)^k\left(\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \frac{k}{\sqrt{k+1}}\right)+ \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{N-1}{\sqrt{N}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right]$$
$$ = -N \left[ -\frac{1}{2}\sum_{k=N+1}^{+\infty}(-1)^k\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) + \frac{(-1)^N}{2\sqrt{N+1}}\right] - \left[-\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{N-1}(-1)^k\left(\frac{k}{\sqrt{k+1}} - \frac{k-1}{\sqrt{k}}\right) - \frac{(-1)^N (N-1)}{2\sqrt{N}} \right]$$
Les suites $(a_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ et $(b_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ définies par $a_k = \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}}$ et $b_k = \frac{k}{\sqrt{k+1}} - \frac{k-1}{\sqrt{k}}$ sont décroissantes et convergent vers $0$.
Donc d'après le critère spécifique des séries alternées,
$$\left|\sum_{k=N+1}^{+\infty}(-1)^k\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\right| \leqslant \frac{1}{\sqrt{N+1}} - \frac{1}{\sqrt{N+2}} = \mathcal{O}\left(\frac{1}{N\sqrt{N}}\right) = \mathcal{o}\left(\frac{1}{N}\right)$$
et il existe $l \in\mathbb{R}$ tel que
$$\sum_{k=2}^{N-1} (-1)^k\left(\frac{k}{\sqrt{k+1}} - \frac{k-1}{\sqrt{k}}\right) = l + \mathcal{o}(1)$$
Ainsi,
$$\sum_{n=1}^N u_n = -N \left[ \mathcal{o}\left(\frac{1}{N}\right) + \frac{(-1)^N}{2\sqrt{N+1}}\right] - \left[-\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2} (l + \mathcal{o}(1)) - \frac{(-1)^N (N-1)}{2\sqrt{N}} \right]$$
$$ = \mathcal{o}(1) - \frac{(-1)^N N}{2\sqrt{N+1}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2} l + \mathcal{o}(1) + \frac{(-1)^N (N-1)}{2\sqrt{N}}$$
$$ = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2} l - \frac{(-1)^N}{2}\left(\frac{N}{\sqrt{N+1}} - \frac{N-1}{\sqrt{N}}\right) - \frac{(-1)^N}{2\sqrt{N}} + \mathcal{o}(1)$$
$$ = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2} l + \mathcal{o}(1)$$
$$u_1 = -\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}$$
Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $$u_{n+1} = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1+k}}{\sqrt{n+1+k}} = \sum_{k=2}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+k}}{\sqrt{n+k}} = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+k}}{\sqrt{n+k}} - \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1}} = u_n + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$$
Donc lorsque $N \rightarrow +\infty$,
$$\sum_{n=1}^N u_n = \sum_{n=1}^N \left(u_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (u_{k+1} - u_k) \right) = \sum_{n=1}^N \left(u_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \right)$$
$$ = \sum_{n=1}^N u_1 + \sum_{n=1}^N \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} = Nu_1 + \sum_{1\,\leqslant\, k\,<\,n\,\leqslant\, N} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} = Nu_1 + \sum_{k=1}^{N-1} \sum_{n=k+1}^N \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}$$
$$ = Nu_1 + \sum_{k=1}^{N-1} (N-k)\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} = Nu_1 + N \sum_{k=1}^{N-1}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} - \sum_{k=1}^{N-1}\frac{(-1)^{k}k}{\sqrt{k+1}}$$
$$ = Nu_1 + N\left(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} - \sum_{k=N}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\right) - \sum_{k=1}^{N-1}\frac{(-1)^{k}k}{\sqrt{k+1}} = -N \sum_{k=N}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} - \sum_{k=1}^{N-1}\frac{(-1)^{k}k}{\sqrt{k+1}}$$
$$ = -N \sum_{k=N}^{+\infty}\left(\sum_{p=0}^k (-1)^p - \sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{k+1}} - \sum_{k=1}^{N-1}\left(\sum_{p=0}^k (-1)^p - \sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{k}{\sqrt{k+1}}$$
$$ = -N \left[\sum_{k=N}^{+\infty}\left(\sum_{p=0}^k (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{k+1}} - \sum_{k=N}^{+\infty}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right] - \left[\sum_{k=1}^{N-1}\left(\sum_{p=0}^k (-1)^p\right)\frac{k}{\sqrt{k+1}} - \sum_{k=1}^{N-1}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{k}{\sqrt{k+1}}\right]$$
$$ = -N \left[\sum_{k=N+1}^{+\infty}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{k}} - \sum_{k=N}^{+\infty}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right] - \left[\sum_{k=2}^{N}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \sum_{k=1}^{N-1}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\frac{k}{\sqrt{k+1}}\right]$$
$$ = -N \left[\sum_{k=N+1}^{+\infty}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) - \left(\sum_{p=0}^{N-1} (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right]$$
$$- \left[\sum_{k=2}^{N-1}\left(\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p\right)\left(\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \frac{k}{\sqrt{k+1}}\right) + \left(\sum_{p=0}^{N-1} (-1)^p\right)\frac{N-1}{\sqrt{N}} - \left(\sum_{p=0}^{1-1} (-1)^p\right)\frac{1}{\sqrt{1+1}} \right]$$
$$ = -N \left[\sum_{k=N+1}^{+\infty}\frac{1-(-1)^k}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) - \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right]$$
$$- \left[\sum_{k=2}^{N-1}\frac{1-(-1)^k}{2}\left(\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \frac{k}{\sqrt{k+1}}\right) + \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{N-1}{\sqrt{N}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right]$$
$$ = -N \left[\frac{1}{2}\sum_{k=N+1}^{+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) - \frac{1}{2}\sum_{k=N+1}^{+\infty}(-1)^k\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) - \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right]$$
$$- \left[\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{N-1}\left(\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \frac{k}{\sqrt{k+1}}\right) - \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{N-1}(-1)^k\left(\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \frac{k}{\sqrt{k+1}}\right)+ \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{N-1}{\sqrt{N}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right]$$
$$ = -N \left[\frac{1}{2\sqrt{N+1}} - \frac{1}{2}\sum_{k=N+1}^{+\infty}(-1)^k\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) - \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right]$$
$$- \left[\frac{1}{2}\left(\frac{2-1}{\sqrt{2}} - \frac{N-1}{\sqrt{N}}\right) - \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{N-1}(-1)^k\left(\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \frac{k}{\sqrt{k+1}}\right)+ \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{N-1}{\sqrt{N}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right]$$
$$ = -N \left[ -\frac{1}{2}\sum_{k=N+1}^{+\infty}(-1)^k\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) + \frac{(-1)^N}{2\sqrt{N+1}}\right]$$
$$- \left[\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{N-1}{2\sqrt{N}} - \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{N-1}(-1)^k\left(\frac{k-1}{\sqrt{k}} - \frac{k}{\sqrt{k+1}}\right)+ \frac{1-(-1)^N}{2}\frac{N-1}{\sqrt{N}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right]$$
$$ = -N \left[ -\frac{1}{2}\sum_{k=N+1}^{+\infty}(-1)^k\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) + \frac{(-1)^N}{2\sqrt{N+1}}\right] - \left[-\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{N-1}(-1)^k\left(\frac{k}{\sqrt{k+1}} - \frac{k-1}{\sqrt{k}}\right) - \frac{(-1)^N (N-1)}{2\sqrt{N}} \right]$$
Les suites $(a_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ et $(b_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ définies par $a_k = \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}}$ et $b_k = \frac{k}{\sqrt{k+1}} - \frac{k-1}{\sqrt{k}}$ sont décroissantes et convergent vers $0$.
Donc d'après le critère spécifique des séries alternées,
$$\left|\sum_{k=N+1}^{+\infty}(-1)^k\left(\frac{1}{\sqrt{k}} -\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\right| \leqslant \frac{1}{\sqrt{N+1}} - \frac{1}{\sqrt{N+2}} = \mathcal{O}\left(\frac{1}{N\sqrt{N}}\right) = \mathcal{o}\left(\frac{1}{N}\right)$$
et il existe $l \in\mathbb{R}$ tel que
$$\sum_{k=2}^{N-1} (-1)^k\left(\frac{k}{\sqrt{k+1}} - \frac{k-1}{\sqrt{k}}\right) = l + \mathcal{o}(1)$$
Ainsi,
$$\sum_{n=1}^N u_n = -N \left[ \mathcal{o}\left(\frac{1}{N}\right) + \frac{(-1)^N}{2\sqrt{N+1}}\right] - \left[-\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2} (l + \mathcal{o}(1)) - \frac{(-1)^N (N-1)}{2\sqrt{N}} \right]$$
$$ = \mathcal{o}(1) - \frac{(-1)^N N}{2\sqrt{N+1}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2} l + \mathcal{o}(1) + \frac{(-1)^N (N-1)}{2\sqrt{N}}$$
$$ = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2} l - \frac{(-1)^N}{2}\left(\frac{N}{\sqrt{N+1}} - \frac{N-1}{\sqrt{N}}\right) - \frac{(-1)^N}{2\sqrt{N}} + \mathcal{o}(1)$$
$$ = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2} l + \mathcal{o}(1)$$
? Tu les créés toi même ou tu t inspires d un cours ? Merci 