Les dattes à Dattier

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Re: Les dattes à Dattier

Message par noro » 10 mai 2018 19:23

Il faut quand même que $ f_n $ soit polynomiale.
Bon la je crois que ça fonctionne:
On pose $ g_n(x) = exp(-nx^2) $ qui CVS vers l'indicatrice de {0}
alors $ g_n'(x) = -2nxexp(-nx^2) $ et $ g_n''(x) = 4n^2x^2exp(-nx^2) -2nexp(-nx^2) $
Si a est un réel non nul, $ g_n''(a) = o(1) $, sinon si a = 0, $ g_n''(0) = -2n $ tend vers $ -\infty $.
Soit $ f_n $ une suite de polynômes tels que $ sup_{[-n,n]}|f_n''-g_n''| < 1/n^4 $ et $ f_n'(0) = g_n'(0), f_n(0) = g_n(0) $
Alors $ f_n $ CVS vers l'indicatrice de {0} et $ f_n''(a) $ ne diverge vers +l'infini pour aucun $ a \in \mathbb R $
Nothing happened.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par noro » 13 mai 2018 18:52

Dattier a écrit :
13 mai 2018 17:19
énoncé 134 : jamais bijectif 4
Soit $p>5$ premier, $P,Q \in \mathbb F_p[x]$ tel que $P,Q$ bijections.
A-t-on $P+Q$ n'est pas une bijection ?
Si $P=X, Q=-X$ alors $P+Q$ n'est pas une bijection.
Si $P=2X, Q=-X$ alors $P+Q$ est une bijection.
Conclusion on ne peut pas savoir si la somme de deux polynômes bijectifs est bijective.
Nothing happened.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par noro » 13 mai 2018 21:23

Dattier a écrit :
13 mai 2018 17:19
énoncé 133 : jamais bijectif 3
Soit $p>5$ premier, $P \in \mathbb F_p[x]$ tel que $\text{deg}(P)=4$.
A-t-on $P$ qui n'est pas bijectif ?
Pas forcément par exemple $P=3X^4-5X^3+4X^2$ est bijectif dans $F_7$ :
P(0)=0
P(1)=2
P(2)=3
P(3)=4
P(4)=1
P(5)=6
P(6)=5
Nothing happened.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » 18 mai 2018 17:43

Dattier a écrit :
14 mai 2018 18:15
énoncé 137 : polynôme et pgcd 2
$ P,Q\in \mathbb Z[x] $ avec $\gcd(Q(x),P(x))=1$ et $P,Q$ unitaire.
A-t-on, $\forall a \in \mathbb Z, \exists b\in \mathbb Z_{\geq a}, \gcd(P(b),Q(b))=1$ ?
No $ P(x)=x(x+1) $ , $ Q(x)=2x+4 $ , alors $ pgcd(P,Q)=1 $ (aucune racine commune)

le produit x(x+1) est toujours paires (deux entiers consécutifs ) donc pour tout $ 2|pgcd(P(n), Q(n)) $
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » 18 mai 2018 19:18

énoncé 86 : une jolie question d'arithmétique
$ \text{ Soit }a_1,...,a_{500}\text{ une suite finie d'entier distincts dans }[1,3000].
\\\text{A-t-on : l'existence d'un couple }a_i\neq a_j \text{ avec gcd}(a_i,a_j)>1 ? $

il y a $ 430 $ nombres premiers dans l'intervalle $ [[1,3000] $ , comme on choisit 500 entier distincts , il existe donc au moins un nombre premier $ p $ qui apparaît dans la décomposition en facteur premier d'au moins deux d'entres eux avec une puissance $ \geq 1 $ , notons les $ a_{i} $ et $ a_{j} $ le couple $ (a_{i},a_{j}) $ convient .
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Re: Les dattes à Dattier

Message par noro » 18 mai 2018 19:51

Dattier a écrit :
18 mai 2018 17:54
Bonjour,

@Oty : Q n'est pas unitaire (coeff principal qui vaut 1 ou -1).

Bonne journée.
il suffit de prendre Q = (X-1)(X-2)
Nothing happened.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » 18 mai 2018 20:39

Dattier a écrit :
15 mai 2018 13:33
Bonjour,

énoncé 138 : une affaire de constance
A-t-on $\forall n \in \mathbb N, \exists a,b\in \mathbb N_{\geq n}, E(a\times \pi)+E(b\times \pi) \mod 2=1$ ?

Bonne journée.


Soient $ y $ des nombres réels strictement positifs : tel que $ \frac{1}{\pi} +\frac{1}{y}=1 $ d’après le théorème de Beatty les suites $ (E(n\pi)) $ et $ (E(ny)) $ forment une partitions de $ N^{*} $

Soit $ n\in \mathbb{N} $ l'ensemble $ \mathbb{N}_{\geq n} $ contient une infinité de terme de la suite $ (E(m\pi)) $, si $ (E(m\pi)) $ ne garde jamais la même parité c'est terminer .
sinon supposant qu'il existe $ N $ tel que $ \forall m \geq N $ , $ (E(m\pi)) $ garde la même parité , si celle ci est impaire alors on prend $ (a,b) $ de la forme $ (k,0) $ convient .
Reste a traiter le cas ou $ (E(m\pi)) $ est paire $ \forall m \geq N $ dans ce cas la suite $ (E(my)) $ contient des termes impaires , soit $ s\geq N $ et $ k=E(s\pi) $ alors $ k $ n'est pas atteint par la suite $ (E(my)) $ on dispose donc de $ p $ tel que $ E(py) <k < E((p+1)y) $ , ainsi par injectivité de $ t\to E(t\pi) $ et $ t \to E(ty) $ ,$ t $ entier naturel , l'ensemble $ \{1,...,k\} $ contient $ s+p $ éléments des deux suites ; donc $ k=s+p $ , ainsi pour $ s\geq N $ impair , $ k $ est paire , et donc $ p $ impaire ce qui est exclu si on s'arrange pour que $ E(my) $ ne prenne que des valeurs impaires si $ E(m\pi) $ ne prend que des valeurs paires , dans tout les cas il s'agit de savoir si la parité de $ E(m\pi) $ devient fixe a partir d'un certain rang . Des idées ?
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » 18 mai 2018 20:43

Dattier a écrit :
18 mai 2018 17:54
Bonjour,

@Oty : Q n'est pas unitaire (coeff principal qui vaut 1 ou -1).

Bonne journée.
Ah oui désolé , j'ai oublié cette condition $ Q=(x+3)(x+4) $ l'idée est claire est de s'arranger pour que les Poly soient paires .
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » 19 mai 2018 22:26

Conclusion de la preuve :
D’après le théorème de Jacobi la suite $ n\pi -E(n\pi) $ est dense dans $ [0,1] $ ,
soit $ a \in [0,1] $ qu'on choisira ultérieurement
donc l'inégalité $ n\pi-E(n\pi)< a $ , pour infinité de valeurs de $ n $

donc $ E((n+1)\pi )=E(n\pi +\pi) $ or $ E(n\pi)+3 <n\pi +\pi < E(n\pi)+a+\pi $ , pour $ a $ suffisamment petit par exemple $ a=0,2 $ il vient que $ E((n+1)\pi)=E(n\pi)+3 $ pour une infinité de valeurs de $ n $ , donc la suite ne peut rester paire a partir d'un certain rang ce qui permet de conclure sauf erreur .
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » 20 mai 2018 04:34

Bonsoir ,c'est la fameux résultat: pour $ \alpha $ irrationnel , $ (n\alpha -E(n\alpha)) $ est dense dans $ [0,1] $
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