D'accord, tu n'as donc pas de démonstration de ce que tu avances. Normal, puisqu'il y a un contre-exemple.
GaBuZoMeu a écrit : ↑22 août 2018 16:36
1°) Pour tout point $ M $ de $ \mathbb R^2 $ différent de $ (0,0) $, il existe un unique réel $ a >0 $ et un unique $ \theta \in \mathbb R/2\pi\mathbb Z $ tel que $ M=(a\cos(\theta), a^2\sin(\theta)) $.
On trouve facilement $ a $ en résolvant l'équation
$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^4}=1 $$
qui donne
$$ a=\sqrt{\frac{x^2}{2}+\sqrt{\frac{x^4}{4} +y^2}}\;. $$
Bien sûr $ \theta $ est le réel modulo $ 2\pi $ tel que $ \cos(\theta)=\dfrac{x}{a} $ et $ \sin(\theta)=\dfrac{y}{a^2} $.
On définit $ T : \mathbb R^2\to \mathbb R^2 $ par $ T(0,0)=(0,0) $ et $ T(M)=(a\cos(\theta+2\pi/3), a^2\sin(\theta+2\pi/3)) $ (avec les notations de 1°).
2°) $ T $ est continue.
On définit $ h : \mathbb R^2\to \mathbb R^2 $ par $ h(0,0)=(0,0) $ et $ h(x,y)=\left(x,\dfrac{y}{a}\right) $ si $ (x,y)\neq (0,0) $ (où $ a $ est celui calculé au 1°). De la sorte, si $ h(x,y)=(u,v) $, alors $ (x,y)=(u,v\sqrt{u^2+v^2}) $. Ceci montre que $ h $ est une bijection, et la formule que nous venons d'écrire montre que son inverse $ h^{-1} $ est continu.
Vérifions que $ h $ est continue, ce qui établira que $ h $ est un homéomorphisme de $ \mathbb R^2 $ sur lui-même. La seule difficulté est la continuité en $ (0,0) $. On remarque que $ a\geq \sqrt{\sqrt{y^2}}=\sqrt{|y|} $ et donc $ \left|\dfrac{y}{a}\right|\leq \sqrt{|y|} $. On conclut que $ h(x,y) $ tend bien vers $ (0,0) $ quand $ (x,y) $ tend vers $ 0 $.
Par construction, $ T=h^{-1}\circ r\circ h $ où $ r $ est la rotation de centre l'origine d'angle $ 2\pi/3 $. Donc $ T $ est continue.
3°) Pour tout $ M\in \mathbb R^2 $, le centre de gravité du triangle $ M\ T(M)\ T^2(M) $ est $ (0,0) $.
C'est une conséquence immédiate de
$$ \cos(\theta)+\cos(\theta+2\pi/3)+\cos(\theta+4\pi/3)=\sin(\theta)+\sin(\theta+2\pi/3)+\sin(\theta+4\pi/3)=0\;. $$
4°) $ T $ n'est pas linéaire.
En effet, la restriction de $ T $ au cercle unité est la rotation d'angle $ 2\pi/3 $. Si $ T $ était linéaire, ce serait donc la rotation d'angle $ 2\pi/3 $ sur $ \mathbb R^2 $, or ce n'est pas le cas.
En conclusion, Dattier, tu n'as pas de démonstration de ce que tu avances et tu as ci-dessus un contre-exemple démontré entièrement. Tu peux donc barrer ta question 21, en indiquant : réponse négative.
NB. Il y a eu une édition de ce fil, avec suppression de plusieurs messages où Dattier prétendait avoir une preuve du fait qu'une transformation du plan vérifiant les hypothèses est nécessairement linéaire, avant de finalement reconnaître qu'il n'en avait pas. Ceci explique par exemple le début de ce message.
