Les dattes à Dattier

[Koppnayw]

SPOILER:

On a envie de dire que non puisqu'en regroupant par paquets à $ i+j=constante $, on n'a pas convergence. Cependant le théorème de regroupement par paquets ne s'applique pas ici je crois.

[K-ter]

Pour le 50:

SPOILER:

Il "suffit" de calculer le résultant du polynôme P (avec un logiciel de calcul formel par ex), puis de faire une étude de fonction pour montrer qu'il ne s'annule pas sur les réels (ou regarder son graphe). Ainsi, il n'existe pas de tels a réels

[K-ter]

Ça reste un outil qu'on est souvent amené à rencontrer en prépa. Par ex, maths A cette annee

[Zetary]

54

SPOILER:

Postulat de Bertrand et récurrence forte

[Nicolas G]

Peut-être un début pour le 52, en supposant que c'est le poids par rapport à 0.

SPOILER:

Une puissance de 3 étant impaire, son écriture en base 2 finira forcément par 1, du coup les seules solutions sont de la forme 10...01. On a l'équation, $ 2^n+1=3^m[\tex], on a une solution pour m=1 et m=2 et je pense que c'est tout, j'ai pas trop l'idée de la démo, ça fait longtemps que j'ai pas fait d'arithmétique (j'ai même aucune idée de la difficulté à résoudre l'équation, c'est peut-être une propriété de base, ou c'est peut-être le coeur du problème).[\spoiler] $

[bubulle]

énoncé 56 : Pause en série
Soit $ f\in C^2([0,1])\text{ tel que } f(0)=0 $. Déterminer en fonction de $ f $ la valeur de la limite de $ \sum \limits_{k=n}^{2n} f(\frac{1}{k}) $.

énoncé 57 : points variés +
Détreminer les points d'intersections des variétés :
$ V_1 : x^3+4y^3+3x^2y^2+2xy-1=0 $
$ V_2 : x^3+2y^3+3x^2y^2+4xy+1=0 $

Pour le 56 un simple développement en 0 donne une limite de ln(2)f'(0) sauf erreur.
Pour le 57, si on pose x=ay^2, on trouve nécessairement a^3=-3.
En réinjectant on trouve y^3 = 1/(1-a)

[Almar]

Salut, pour le 58 :

SPOILER:

on peut montrer que si a = bq + r (division euclidienne), alors $ 2^b + 1 $ | $ (2^a + 1) - (2^r + 1) $. Il s'agit ensuite de l'algorithme d'Euclide.

[Almar]

Oui pardon, ce que j'ai dit est vrai pour "-1" et non pas "+1". Je dirai donc que comme le coeff est impaire, on peut se ramener aux même factorisations.
(Je peux développer si nécessaire)

[oty20]

$ \textbf{énoncé 65 : }\textit{ une trace determinante :}\\ \exists f, \forall A \in M_{n,n}(\mathbb{K}), \det(A)=f(\text{trace}(A),...,\text{trace}(A^{n-1})) ? $

Pour une matrice de taille $ 2 $ , il est facile de prouver que $ 2det(A)=tr(A)^{2}-tr(A^{2}) $ , pour le cas général , $ det(A) $ , c'est le produit des valeurs propres (avec leur multiplicités) , alors que que pour tout $ m $ , $ tr(A^{m}) $ représente une somme sur les puissances $ m- $iemes des valeurs propres , donc peut calculer le produits de $ n $ nombres , a partir des sommes de leurs m-ieme puissance i,e $ tr(A),...,tr(A^{n}) $ , par exemple avec les formules de newton qui donnent des relations entres les polynômes symétriques elementaires et les sommes de puissance , Par contre c'est formule sont assez obscur je ne vais pas m'aventurer plus loin je laisse un lien pour ceux qui veulent plus de détails
https://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9s_de_Newton

[Siméon]

@oty20 : tu as omis le fait que Dattier s'arrête à la puissance $n-1$.

Voici une indication :

SPOILER:

Considérer $A \in \mathcal M_n(\mathbb K)$ dont le polynôme minimal est $X^n - 1$.

P.S. La caractéristique du corps n'intervient pas dans ce problème, on peut même se placer sur un anneau qui n'est pas un corps.