j'y ai pensé mais de toutes façons les intégrales multiples ne sont pas au programme de prépa
Les dattes à Dattier
Re: Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier
Pour la (jamais :p) $203$
SPOILER:
Re: Les dattes à Dattier
Soit $F$ un fermé de $\mathbb{R^n}$, l'image réciproque de $F$ par rapport à $f^{-1}$ est $f(F)$ (bijectivité de $f$). Or $f(F)$ est fermé car $f$ est fermée. Donc $f^{-1}$ est continue.Dattier a écrit : ↑22 sept. 2018 16:22Salut,
206 : Speedy Gonzalez 1 MP*+
Montrer en 2 lignes que si $f$ bijective continue de $\mathbb R^n$ dans lui même, alors $f^{-1}$ est aussi continue.
Les énigmes marqués speedy Gonzalez, sont des classiques, qu'il faut prouver avec une preuve inédite trés courte.
Cordialement.
Dernière modification par alvaare le 22 sept. 2018 17:08, modifié 2 fois.
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Re: Les dattes à Dattier
Non, on prend $n=1$ et la fonction $arctan$. On a $f(\mathbb{R})=]-\pi/2; \pi/2[$
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Re: Les dattes à Dattier
A/ On pose $u=nx$,Dattier a écrit : ↑15 sept. 2018 21:47201 : pause
A/ Soit $f \in C([0,1])$. A-t-on $$\forall n \in \mathbb N^*, \int_0^1 f(x) \text{d}x=\int_0^1 f(n \times x-E( n\times x))\text{d}x $$ ?
B/ Soit $g,f \in C([0,1],\mathbb R_+)$. A-t-on $$ \int_0^1 f(x) \text{d}x=\int_0^1 \int_0^1 f(g(t)+x-E(g(t)+x))\text{d}x\text{d}t $$ ?
Avec $E$ la partie entière.
$$\forall n \in \mathbb N^*, \int_0^1 f(n \times x-E( n\times x))\text{d}x = \frac{1}{n}\int_0^n f(\{u\})\text{d}u = \frac{1}{n}\times n \int_0^1 f(x) \text{d}x = \int_0^1 f(x) \text{d}x$$
B/ On pose $\forall t \in [0, 1], a(t)$ le réel dans $[0, 1[$ tel que $g(t)+x \in \mathbb{Z}$. Alors:
$$\int_0^1 \int_0^1 f(g(t)+x-E(g(t)+x))\text{d}x\text{d}t=\int_0^1 \int_0^{a(t)} f(1-a(t)+x)\text{d}x+\int_0^{1-a(t)} f(x)\text{d}x\text{d}t$$
On pose $u=1-a(t)+x$ dans la première intégrale:
$$\int_0^1 \int_0^1 f(g(t)+x-E(g(t)+x))\text{d}x\text{d}t=\int_0^1 \int_0^1 f(x)\text{d}x\text{d}t= \int_0^1 f(x) \text{d}x$$
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Re: Les dattes à Dattier
$\forall x \in [0; 1[, E(x-1)=-1$, non?
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Re: Les dattes à Dattier
Je crois que la convention est plutôt de prendre toujours l’entier inférieur.
Ginette MP* -> Centrale Paris P2017
Re: Les dattes à Dattier
De toutes manières, le problème est invariant par translation de g, donc l'hypothèse g>=0 ne peut pas être nécessaire.
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Re: Les dattes à Dattier
J'aimerais bien voir le résultat de la question $ $$206$ démontré sans utiliser le théorème d'invariance de Brouwer....
Re: Les dattes à Dattier
Si "continue implique graphe fermé" est vraie, la réciproque ne l'est pas. C'est vrai pour les applications linéaires entre espaces complets (théorème de l'application ouverte).
L'application:
$$
\phi\colon[0,2\pi[\to\mathbb{S}^1\\
t\mapsto (\cos(t),\sin(t))
$$
est bijective, continue. Son graphe est fermé, le graphe de sa bijection réciproque (ou inverse) est bien fermé. Mais sa bijection répciproque ou inverse n'est pas continue.
L'application:
$$
\phi\colon[0,2\pi[\to\mathbb{S}^1\\
t\mapsto (\cos(t),\sin(t))
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Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
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