Les dattes à Dattier

[BobbyJoe]

Au passage, vu qu'"absolument continue" implique "à variations bornées", il est sans doute de bon ton de donner un contre-exemple d'une fonction qui n'est pas "absolument continue" mais "à variations bornées"!

[Nicolas Patrois]

88 : Palindromitude

Si $P\in\mathbb{C}[X]$ palindrome de degré $n=2×k+ϵ$ et $ϵ∈\{0,1\}$ avec $(n>0)$, alors si $r$ est une racine de $P$ alors $1/r$ aussi et de même multiplicité. Il est clair que $r≠0$.
Supposons que $|r|≠1$, alors $(X-r)(X-1/r)=X^2-\frac{r^2+1}{r} X+1$. Donc si ni $1$ ni $-1$ ne sont racines de $P$, tout va bien puisque $r≠1/r$.
Pour le reste, je ne vois pas mais je suppose que pour $1$ on peut utiliser $P^\prime$ pour démontrer que 1 est racine d’ordre pair.

[Nicolas Patrois]

Je finis.
Si la multiplicité de $1$ était impaire (disons $m$), alors $X^m+…+(-1)$ diviserait $P$ ce qui voudrait dire que le coefficient dominant de P serait de signe opposé à… contradiction.
Quant à $-1$, comme les autres racines sont groupées par $2$ (et que si le degré de $P$ est impair alors $-1$ en est racine), c’est fini.

[Hibiscus]

Pour les amateurs de reccord : le 167

Je viens de le voir, du coup j'ai un doute..
On peut pas juste utiliser un truc du genre
"Renvoit les d derniers decimales de p^^n (n>d), ou p^^n est la tour p^p^...p^p (n p's).
tower_digits:=proc(d,p)
local x, oldx, height;
begin
x := p;
height := 1;
while TRUE do
oldx := x;
x := powermod(p,x,10^d);
if x = oldx mod 10^d then break end_if;
height := height + 1
end_while;
return([x,height])
end_proc

Comme toutes les tours de hauteur plus grande que d ont la meme sequence des derniers digits.

Et on a "juste" a utiliser la methode des "Last Eight Digits of Z"

using a computer and to force the computer to do this modular exponentiation. We're looking for the
last 8 digits so we will reduce 13^13 mod 10^8 and then take the
answer we get (call it x), and compute: 13^x mod 10^8
Of course, 13^x will be too large to compute (even though x will be
significantly smaller than 13^13 - recall that x is only the last 8
digits of 13^13) unless we force the computer to do the exponentiation
modularly.

Par exemple, en Maple, on triche avec :
> 13^13;
302875106592253
> 13 &^ % mod 10^8;
88549053
> 13 &^ % mod 10^8;
44325053
> 13 &^ % mod 10^8;
84645053
> 13 &^ % mod 10^8;
27045053
> 13 &^ % mod 10^8;
95045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053

C'est a dire, pour des tours de 3, que les 167 derniers chiffres de Graham sont

73228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262464195387

Non ?

Cela dit, je vois toujours pas trop le but, sur un forum pour prepas..

[Nicolas Patrois]

Je dirais non avec une fonction continue nulle part comme celle qui remplit $[0;1[^2$ mais mon petit doigt me dit que ce n’est pas suffisant.

[Nicolas Patrois]

Avec une fonction bornée, je doute que ça marche (à l’aide d’un théorème du genre segments emboîtés).
Avec une fonction bornée sur aucun intervalle de $\mathbb{R}$, ça m’a l’air une meilleure piste mais je ne vois pas comment le prouver si c’est vrai.

[JeanN]

Bonsoir,

167 : Incroyable mais vrai ?
Déterminer $ G \mod 10^{167} $. On justifiera la méthode.

Avec $G$ le nombre de Graham

Bonne soirée.

On calcule les itérées de la fonction d'Euler et on utilise le théorème de Lagrange.

> N := 167;

> a := 3; for k from 2 to N do a := `mod`(Power(3, a), 2^k) end do;

>
> for k to N do a := `mod`(Power(3, a), 2^(2*N-k)*5^k) end do;
> a;
7322801013297450927344594504343300901096928025352751833289884461\

50894042482650181938515625357963996189939679054966380032223487\

23967018485186439059104575627262464195387
>

[Nicolas Patrois]

Ça me fait penser à un ou deux problèmes du projet Euler.

[Hibiscus]

Il me semble que c'est une première : le calcul des 167 premiers chiffres (en écritures décimale) du nombre de Graham, sauf preuve du contraire.

Sauf votre respect, les 500 premiers sont sur la page wikipedia.

[JeanN]

Quelques justifications ici par Doctor Jacques


http://mathforum.org/library/drmath/view/51625.html

Pour les amateurs de reccord : le 167

Je viens de le voir, du coup j'ai un doute..
On peut pas juste utiliser un truc du genre
"Renvoit les d derniers decimales de p^^n (n>d), ou p^^n est la tour p^p^...p^p (n p's).
tower_digits:=proc(d,p)
local x, oldx, height;
begin
x := p;
height := 1;
while TRUE do
oldx := x;
x := powermod(p,x,10^d);
if x = oldx mod 10^d then break end_if;
height := height + 1
end_while;
return([x,height])
end_proc

Comme toutes les tours de hauteur plus grande que d ont la meme sequence des derniers digits.

Et on a "juste" a utiliser la methode des "Last Eight Digits of Z"

using a computer and to force the computer to do this modular exponentiation. We're looking for the
last 8 digits so we will reduce 13^13 mod 10^8 and then take the
answer we get (call it x), and compute: 13^x mod 10^8
Of course, 13^x will be too large to compute (even though x will be
significantly smaller than 13^13 - recall that x is only the last 8
digits of 13^13) unless we force the computer to do the exponentiation
modularly.

Par exemple, en Maple, on triche avec :
> 13^13;
302875106592253
> 13 &^ % mod 10^8;
88549053
> 13 &^ % mod 10^8;
44325053
> 13 &^ % mod 10^8;
84645053
> 13 &^ % mod 10^8;
27045053
> 13 &^ % mod 10^8;
95045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053

C'est a dire, pour des tours de 3, que les 167 derniers chiffres de Graham sont

73228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262464195387

Non ?

Cela dit, je vois toujours pas trop le but, sur un forum pour prepas..