Les dattes à Dattier

[oty20]

Ce sont de vieux énoncés encore peu connu :

énoncé 69 : la convexité pour tous
$ \text{Soit }f\in C^2([0,1],\mathbb R_+). \\ \text{ A-t-on } \exists M>0,\forall x,y,\alpha\in[0,1], f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq M(\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y))). $

Cette exercice est vraiment drôle, soit $ s=max_{t \in [0,1]}(f(t)) , r=min_{t\in [0,1]} (f(t)) $

$ tf(x)+(1-t)f(y) \geq tr+(1-t)r \geq r $ , alors $ M=\frac{s}{r} $ convient !

[oty20]

bah cela fournit donc un contre exemple il suffit de choisir $ f $ de sorte que $ f $ s'annule aux bornes de l'intervalle $ [x,y] $ et est strictement positif au centre.

[oty20]

Salut,

J'en tente un :

énoncé 71 : Convexe intégrale
$ \text{f fonction réel tel que f-exp est convexe : }
\\\text{A-t-on } E_f=\{g \in C([0,1])| \int_0^1f(g(x)) \text{d}x=f(\int_0^1g(x) \text{d}x) \} \text{ est l'ensemble des fonctions constantes ?}
$

Normalement il faut plus d'une astuce pour le tomber, sauf contournement (que je ne connais pas)..

celui la il est intriguant, les fonctions de la forme $ f(t)=at+b\sqrt{1-t^{2}} ,~~~~t \in [-1,1] $

vérifient : $ \int_{0}^{n} f\left(cos\,t\right)dt=f\left(sin\,n\right) $ , on s’intéresse à n=1 , reste a savoir si parmi elles figure une qui est exp convexe , qu'entendez vous par f-exp , $ fo\exp $ ?

[oty20]

Ah donc cette voie risque d’être très calculatoire sans garantie que cela marche..


bon rapidement une autre approche , posons $ h=f-\exp $

soit $ g\in E_{f} $ alors $ \int_{0}^{1}h(g(x))dx-h(\int_{0}^{1} g(x))dx=-[\int_{0}^{1} \exp(g(x))dx - \exp(\int_{0}^{1} g(x)dx)] $

D’après l'inégalité de jensen le membre de droite est négatif tandis que l'autre est positif donc ils sont tous les deux nuls.
en particulier :

$ \int_{0}^{1} \exp(g(x))dx = \exp(\int_{0}^{1} g(x)dx) $ cas d'égalité dans l'inégalité de jensen.

exp étant strictement convexe, je pense que cela implique que $ g $ est constante....Je me rappelle plus du cas d'égalité de l'inégalité de jensen

[oty20]

Essayons ceci :

on note $ a=\int_{0}^{1} g(x) dx $ on a donc, $ e^{a}=\int_{0}^{1} e^{g(x)} dx $ par stricte convexité de exp pour tout $ t\neq a $
$ e^{t} > e^{a}+e^{a}(t-a) $ supposons qu'il existe x tel que $ g(x)\neq a $ alors

$ e^{g(x)} -e^{a}>e^{a}(g(x)-a) $ qui reste vrai sur un intervalle $ I $ inclue dans [0,1] par continuité, donc

$ \int_{0}^{1}e^{g(x)}-e^{a} > e^{a} (\int_{0}^{1} g(x) -a)=0 $ ce qui est exclut, donc $ g \equiv a $

[oty20]

$ |e^{t}-e^{a}| = e^{c} |t-a| $ $ c~~entre~~t~~et~~a $ si $ t \geq a $ c'est évident

si $ t\leq a $

$ -(e^{t}-e^{a}) \leq e^{a} \times [-(t-a)] $ en multiplie par moins -1 cela reste vrai.

[oty20]

je n'ai pas bien compris votre remarque , l'inégalité est valide indépendamment de la position de $ g(x) $ par rapport à $ a $,
l'important c'est d'avoir une inégalité stricte.

[oty20]

ou par accroissement fini .

$ |e^{t}-e^{a}| = e^{c} |t-a| $ $ c~~entre~~t~~et~~a $ si $ t \geq a $ c'est évident

si $ t\leq a $

$ -(e^{t}-e^{a}) \leq e^{a} \times [-(t-a)] $ en multiplie par moins -1 cela reste vrai.

[V@J]

énoncé 93 : impossible à trouver ?
Trouver $ p $ premier tel que : $ P(x)=x^{\frac{p-1}{2}} \mod p, P(1)=P(2)=P(3)=...=P(22) $, et avec $ p\neq 11013658661829071 $ et $ p \neq 197521 $.

Il suffit de prendre $ p = 53881 $ : en effet, il suffit de montrer que 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19 sont bien des carrés modulo $ p $, ce que l'on peut faire en vérifiant (de préférence à la calculatrice) que ces nombres ont respectivement 11740, 7899, 12086, 3258, 15239, 4935, 5043 et 10890 pour racines carrées modulo $ p $.

[BobbyJoe]

***La réponse à la 164 est oui : car une fonction $\mathcal{C}^{1}$ est différence de deux fonctions croissantes (il suffit de considérer les parties positives et négatives de la dérivée de la fonction). On obtient le résultat de l'exercice en intégrant cette décomposition.
***La réponse à la 166 est non : on choisit pour $f$ une fonction continue dérivable en aucun point (ni même à gauche ou à droite). Vu qu'une fonction convexe est dérivable à gauche ou à droite en tout point, on aurait que $f$ serait dérivable à gauche ou à droite en tout point, ce qui est impossible!
Remarque : pour aller plus vite, on peut utiliser qu'une fonction convexe est dérivable pp et donc $f$ le serait aussi ce qui est impossible!
***La réponse à la 165 est non : on choisit pour $f$ une primitive d'une fonction continue, dérivable en aucun point. Si une telle décomposition pour $f$ existait alors $f'$ serait différence de deux fonctions croissantes (les dérivées à droite ou à gauche de la décomposition en fonctions convexes) et donc serait dérivable en presque tout point, ce qui n'est pas possible vu que $f'$ n'est dérivable en aucun point.