Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » lun. mai 14, 2018 6:15 pm

énoncé 137 : polynôme et pgcd 2
$ P,Q\in \mathbb Z[x] $ avec $\gcd(Q(x),P(x))=1$ et $P,Q$ unitaire.
A-t-on, $\forall a \in \mathbb Z, \exists b\in \mathbb Z_{\geq a}, \gcd(P(b),Q(b))=1$ ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. mai 15, 2018 1:33 pm

Bonjour,

énoncé 138 : une affaire de constance
A-t-on $\forall n \in \mathbb N, \exists a,b\in \mathbb N_{\geq n}, E(a\times \pi)+E(b\times \pi) \mod 2=1$ ?

Bonne journée.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » ven. mai 18, 2018 5:43 pm

Dattier a écrit :
lun. mai 14, 2018 6:15 pm
énoncé 137 : polynôme et pgcd 2
$ P,Q\in \mathbb Z[x] $ avec $\gcd(Q(x),P(x))=1$ et $P,Q$ unitaire.
A-t-on, $\forall a \in \mathbb Z, \exists b\in \mathbb Z_{\geq a}, \gcd(P(b),Q(b))=1$ ?
No $ P(x)=x(x+1) $ , $ Q(x)=2x+4 $ , alors $ pgcd(P,Q)=1 $ (aucune racine commune)

le produit x(x+1) est toujours paires (deux entiers consécutifs ) donc pour tout $ 2|pgcd(P(n), Q(n)) $
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » ven. mai 18, 2018 5:54 pm

Bonjour,

@Oty : Q n'est pas unitaire (coeff principal qui vaut 1 ou -1).

Bonne journée.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » ven. mai 18, 2018 7:18 pm

énoncé 86 : une jolie question d'arithmétique
$ \text{ Soit }a_1,...,a_{500}\text{ une suite finie d'entier distincts dans }[1,3000].
\\\text{A-t-on : l'existence d'un couple }a_i\neq a_j \text{ avec gcd}(a_i,a_j)>1 ? $

il y a $ 430 $ nombres premiers dans l'intervalle $ [[1,3000] $ , comme on choisit 500 entier distincts , il existe donc au moins un nombre premier $ p $ qui apparaît dans la décomposition en facteur premier d'au moins deux d'entres eux avec une puissance $ \geq 1 $ , notons les $ a_{i} $ et $ a_{j} $ le couple $ (a_{i},a_{j}) $ convient .
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Re: Les dattes à Dattier

Message par noro » ven. mai 18, 2018 7:51 pm

Dattier a écrit :
ven. mai 18, 2018 5:54 pm
Bonjour,

@Oty : Q n'est pas unitaire (coeff principal qui vaut 1 ou -1).

Bonne journée.
il suffit de prendre Q = (X-1)(X-2)
Nothing happened.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » ven. mai 18, 2018 8:39 pm

Dattier a écrit :
mar. mai 15, 2018 1:33 pm
Bonjour,

énoncé 138 : une affaire de constance
A-t-on $\forall n \in \mathbb N, \exists a,b\in \mathbb N_{\geq n}, E(a\times \pi)+E(b\times \pi) \mod 2=1$ ?

Bonne journée.


Soient $ y $ des nombres réels strictement positifs : tel que $ \frac{1}{\pi} +\frac{1}{y}=1 $ d’après le théorème de Beatty les suites $ (E(n\pi)) $ et $ (E(ny)) $ forment une partitions de $ N^{*} $

Soit $ n\in \mathbb{N} $ l'ensemble $ \mathbb{N}_{\geq n} $ contient une infinité de terme de la suite $ (E(m\pi)) $, si $ (E(m\pi)) $ ne garde jamais la même parité c'est terminer .
sinon supposant qu'il existe $ N $ tel que $ \forall m \geq N $ , $ (E(m\pi)) $ garde la même parité , si celle ci est impaire alors on prend $ (a,b) $ de la forme $ (k,0) $ convient .
Reste a traiter le cas ou $ (E(m\pi)) $ est paire $ \forall m \geq N $ dans ce cas la suite $ (E(my)) $ contient des termes impaires , soit $ s\geq N $ et $ k=E(s\pi) $ alors $ k $ n'est pas atteint par la suite $ (E(my)) $ on dispose donc de $ p $ tel que $ E(py) <k < E((p+1)y) $ , ainsi par injectivité de $ t\to E(t\pi) $ et $ t \to E(ty) $ ,$ t $ entier naturel , l'ensemble $ \{1,...,k\} $ contient $ s+p $ éléments des deux suites ; donc $ k=s+p $ , ainsi pour $ s\geq N $ impair , $ k $ est paire , et donc $ p $ impaire ce qui est exclu si on s'arrange pour que $ E(my) $ ne prenne que des valeurs impaires si $ E(m\pi) $ ne prend que des valeurs paires , dans tout les cas il s'agit de savoir si la parité de $ E(m\pi) $ devient fixe a partir d'un certain rang . Des idées ?
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » ven. mai 18, 2018 8:43 pm

Dattier a écrit :
ven. mai 18, 2018 5:54 pm
Bonjour,

@Oty : Q n'est pas unitaire (coeff principal qui vaut 1 ou -1).

Bonne journée.
Ah oui désolé , j'ai oublié cette condition $ Q=(x+3)(x+4) $ l'idée est claire est de s'arranger pour que les Poly soient paires .
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » ven. mai 18, 2018 11:43 pm

@Noro : bravo
oty20 a écrit :
ven. mai 18, 2018 8:39 pm
dans tout les cas il s'agit de savoir si la parité de $ E(m\pi) $ devient fixe a partir d'un certain rang . Des idées ?
Tout à fait.
indice : essaie un raisonnement par l'absurde.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » sam. mai 19, 2018 10:26 pm

Conclusion de la preuve :
D’après le théorème de Jacobi la suite $ n\pi -E(n\pi) $ est dense dans $ [0,1] $ ,
soit $ a \in [0,1] $ qu'on choisira ultérieurement
donc l'inégalité $ n\pi-E(n\pi)< a $ , pour infinité de valeurs de $ n $

donc $ E((n+1)\pi )=E(n\pi +\pi) $ or $ E(n\pi)+3 <n\pi +\pi < E(n\pi)+a+\pi $ , pour $ a $ suffisamment petit par exemple $ a=0,2 $ il vient que $ E((n+1)\pi)=E(n\pi)+3 $ pour une infinité de valeurs de $ n $ , donc la suite ne peut rester paire a partir d'un certain rang ce qui permet de conclure sauf erreur .
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » sam. mai 19, 2018 11:37 pm

@Oty : Bravo, cela me semble correct, mais je ne connais pas ce théorème (de Jacobi) que tu emploies, aurais-tu une réfèrence ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » dim. mai 20, 2018 4:34 am

Bonsoir ,c'est la fameux résultat: pour $ \alpha $ irrationnel , $ (n\alpha -E(n\alpha)) $ est dense dans $ [0,1] $
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » lun. mai 21, 2018 5:30 am

Dattier a écrit :
dim. avr. 08, 2018 1:54 pm
Bonjour,

énoncé 96 : Théorème de Weierstrass étandue au fonction croissante
Soit f une fonction réel continue croissante sur [0,1].
A-t-on l'existence d'une suite de fonctions polynômes croissantes convergeante uniformément vers f ?

Bonne journée.
Supposons f croissante et continue .
On prend $ P_{n}(f)=\sum_{k=0}^{n} f(\frac{k}{n}) \binom{n}{k} X^{k} (1-X)^{n-k} $ , pour alléger latex $ Q_{n,k}=\binom{n}{k} X^{k} (1-X)^{n-k} $
pour $ n\geq 2 $

$ P_{n}(f)'(x)=n\sum_{k=0}^{n-1} [f(\frac{k+1}{n})-f(\frac{k}{n})] Q_{n-1,k}(x) \geq 0 $ . :)
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