Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia


Avatar du membre
Dattier
Messages : 606
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » lun. mai 14, 2018 6:15 pm

énoncé 137 : polynôme et pgcd 2
\( P,Q\in \mathbb Z[x] \) avec $\gcd(Q(x),P(x))=1$ et $P,Q$ unitaire.
A-t-on, $\forall a \in \mathbb Z, \exists b\in \mathbb Z_{\geq a}, \gcd(P(b),Q(b))=1$ ?
Raisonnement empirique : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

Avatar du membre
Dattier
Messages : 606
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. mai 15, 2018 1:33 pm

Bonjour,

énoncé 138 : une affaire de constance
A-t-on $\forall n \in \mathbb N, \exists a,b\in \mathbb N_{\geq n}, E(a\times \pi)+E(b\times \pi) \mod 2=1$ ?

Bonne journée.
Raisonnement empirique : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

Avatar du membre
oty20
Messages : 435
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » ven. mai 18, 2018 5:43 pm

Dattier a écrit :
lun. mai 14, 2018 6:15 pm
énoncé 137 : polynôme et pgcd 2
\( P,Q\in \mathbb Z[x] \) avec $\gcd(Q(x),P(x))=1$ et $P,Q$ unitaire.
A-t-on, $\forall a \in \mathbb Z, \exists b\in \mathbb Z_{\geq a}, \gcd(P(b),Q(b))=1$ ?
No \( P(x)=x(x+1) \) , \( Q(x)=2x+4 \) , alors \( pgcd(P,Q)=1 \) (aucune racine commune)

le produit x(x+1) est toujours paires (deux entiers consécutifs ) donc pour tout \( 2|pgcd(P(n), Q(n)) \)
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

Avatar du membre
Dattier
Messages : 606
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » ven. mai 18, 2018 5:54 pm

Bonjour,

@Oty : Q n'est pas unitaire (coeff principal qui vaut 1 ou -1).

Bonne journée.
Raisonnement empirique : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

Avatar du membre
oty20
Messages : 435
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » ven. mai 18, 2018 7:18 pm

énoncé 86 : une jolie question d'arithmétique
\( \text{ Soit }a_1,...,a_{500}\text{ une suite finie d'entier distincts dans }[1,3000].
\\\text{A-t-on : l'existence d'un couple }a_i\neq a_j \text{ avec gcd}(a_i,a_j)>1 ? \)

il y a \( 430 \) nombres premiers dans l'intervalle \( [[1,3000] \) , comme on choisit 500 entier distincts , il existe donc au moins un nombre premier \( p \) qui apparaît dans la décomposition en facteur premier d'au moins deux d'entres eux avec une puissance \( \geq 1 \) , notons les \( a_{i} \) et \( a_{j} \) le couple \( (a_{i},a_{j}) \) convient .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

Avatar du membre
Dattier
Messages : 606
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » ven. mai 18, 2018 7:21 pm

@Oty : bravo.
Raisonnement empirique : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

Avatar du membre
noro
Messages : 80
Enregistré le : mar. févr. 13, 2018 5:41 pm
Classe : MP*

Re: Les dattes à Dattier

Message par noro » ven. mai 18, 2018 7:51 pm

Dattier a écrit :
ven. mai 18, 2018 5:54 pm
Bonjour,

@Oty : Q n'est pas unitaire (coeff principal qui vaut 1 ou -1).

Bonne journée.
il suffit de prendre Q = (X-1)(X-2)
Nothing happened.

Avatar du membre
oty20
Messages : 435
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » ven. mai 18, 2018 8:39 pm

Dattier a écrit :
mar. mai 15, 2018 1:33 pm
Bonjour,

énoncé 138 : une affaire de constance
A-t-on $\forall n \in \mathbb N, \exists a,b\in \mathbb N_{\geq n}, E(a\times \pi)+E(b\times \pi) \mod 2=1$ ?

Bonne journée.


Soient \( y \) des nombres réels strictement positifs : tel que \( \frac{1}{\pi} +\frac{1}{y}=1 \) d’après le théorème de Beatty les suites \( (E(n\pi)) \) et \( (E(ny)) \) forment une partitions de \( N^{*} \)

Soit \( n\in \mathbb{N} \) l'ensemble \( \mathbb{N}_{\geq n} \) contient une infinité de terme de la suite \( (E(m\pi)) \), si \( (E(m\pi)) \) ne garde jamais la même parité c'est terminer .
sinon supposant qu'il existe \( N \) tel que \( \forall m \geq N \) , \( (E(m\pi)) \) garde la même parité , si celle ci est impaire alors on prend \( (a,b) \) de la forme \( (k,0) \) convient .
Reste a traiter le cas ou \( (E(m\pi)) \) est paire \( \forall m \geq N \) dans ce cas la suite \( (E(my)) \) contient des termes impaires , soit \( s\geq N \) et \( k=E(s\pi) \) alors \( k \) n'est pas atteint par la suite \( (E(my)) \) on dispose donc de \( p \) tel que \( E(py) <k < E((p+1)y) \) , ainsi par injectivité de \( t\to E(t\pi) \) et \( t \to E(ty) \) ,\( t \) entier naturel , l'ensemble \( \{1,...,k\} \) contient \( s+p \) éléments des deux suites ; donc \( k=s+p \) , ainsi pour \( s\geq N \) impair , \( k \) est paire , et donc \( p \) impaire ce qui est exclu si on s'arrange pour que \( E(my) \) ne prenne que des valeurs impaires si \( E(m\pi) \) ne prend que des valeurs paires , dans tout les cas il s'agit de savoir si la parité de \( E(m\pi) \) devient fixe a partir d'un certain rang . Des idées ?
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

Avatar du membre
oty20
Messages : 435
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » ven. mai 18, 2018 8:43 pm

Dattier a écrit :
ven. mai 18, 2018 5:54 pm
Bonjour,

@Oty : Q n'est pas unitaire (coeff principal qui vaut 1 ou -1).

Bonne journée.
Ah oui désolé , j'ai oublié cette condition \( Q=(x+3)(x+4) \) l'idée est claire est de s'arranger pour que les Poly soient paires .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

Avatar du membre
Dattier
Messages : 606
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » ven. mai 18, 2018 11:43 pm

@Noro : bravo
oty20 a écrit :
ven. mai 18, 2018 8:39 pm
dans tout les cas il s'agit de savoir si la parité de \( E(m\pi) \) devient fixe a partir d'un certain rang . Des idées ?
Tout à fait.
indice : essaie un raisonnement par l'absurde.
Raisonnement empirique : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

Avatar du membre
oty20
Messages : 435
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » sam. mai 19, 2018 10:26 pm

Conclusion de la preuve :
D’après le théorème de Jacobi la suite \( n\pi -E(n\pi) \) est dense dans \( [0,1] \) ,
soit \( a \in [0,1] \) qu'on choisira ultérieurement
donc l'inégalité \( n\pi-E(n\pi)< a \) , pour infinité de valeurs de \( n \)

donc \( E((n+1)\pi )=E(n\pi +\pi) \) or \( E(n\pi)+3 <n\pi +\pi < E(n\pi)+a+\pi \) , pour \( a \) suffisamment petit par exemple \( a=0,2 \) il vient que \( E((n+1)\pi)=E(n\pi)+3 \) pour une infinité de valeurs de \( n \) , donc la suite ne peut rester paire a partir d'un certain rang ce qui permet de conclure sauf erreur .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

Avatar du membre
Dattier
Messages : 606
Enregistré le : ven. juil. 07, 2017 10:08 pm
Contact :

Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » sam. mai 19, 2018 11:37 pm

@Oty : Bravo, cela me semble correct, mais je ne connais pas ce théorème (de Jacobi) que tu emploies, aurais-tu une réfèrence ?
Raisonnement empirique : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

Avatar du membre
oty20
Messages : 435
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » dim. mai 20, 2018 4:34 am

Bonsoir ,c'est la fameux résultat: pour \( \alpha \) irrationnel , \( (n\alpha -E(n\alpha)) \) est dense dans \( [0,1] \)
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

Avatar du membre
oty20
Messages : 435
Enregistré le : dim. avr. 30, 2017 1:48 am

Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » lun. mai 21, 2018 5:30 am

Dattier a écrit :
dim. avr. 08, 2018 1:54 pm
Bonjour,

énoncé 96 : Théorème de Weierstrass étandue au fonction croissante
Soit f une fonction réel continue croissante sur [0,1].
A-t-on l'existence d'une suite de fonctions polynômes croissantes convergeante uniformément vers f ?

Bonne journée.
Supposons f croissante et continue .
On prend \( P_{n}(f)=\sum_{k=0}^{n} f(\frac{k}{n}) \binom{n}{k} X^{k} (1-X)^{n-k} \) , pour alléger latex \( Q_{n,k}=\binom{n}{k} X^{k} (1-X)^{n-k} \)
pour \( n\geq 2 \)

\( P_{n}(f)'(x)=n\sum_{k=0}^{n-1} [f(\frac{k+1}{n})-f(\frac{k}{n})] Q_{n-1,k}(x) \geq 0 \) . :)
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

Répondre

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Baceenay, Errys et 5 invités