Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. juin 14, 2018 6:32 pm

@Matmeca : Bravo

énoncé 146 : minimisation 2
Trouver le minimum de $ \sum\limits_{i=0}^n (x_i^2+2x_{n-i}^2-x_i\times x_{n-i}) $.

Nabuco
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » jeu. juin 14, 2018 7:12 pm

Si n est pair on a un terme au milieu du type $2{x_{\frac{n}{2}}^{2}}$ positif.
Ensuite en fait il suffit de regarder comment minimiser à i fixé $3{x_{i}}^{2}+3{x_{n-i}}^{2}-2x_{i}x_{n-i}=2{x_{i}}^{2}+2{x_{n-i}}^{2}+(x_{i}-x_{n-i})^{2}$ qui est encore positif. On a donc le fait que la somme est positive et minimale pour tous les $x_{i}$ nuls et vaut 0.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. juin 14, 2018 7:16 pm

@Nabuco : Bravo

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. juin 14, 2018 8:09 pm

énoncé 147 : minimisation 3
Trouver le minimum de $ \sum\limits_{i=0}^n [(S-x_i)^2+i\times x_{n-i}] $
Avec $S=\sum x_i$

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oty20
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » dim. juin 17, 2018 9:26 am

matmeca_mcf1 a écrit :
jeu. juin 14, 2018 3:31 pm
Posons $ A $ la matrice symétrique définie positive de taille $ n $ qui vaut 2 sur la diagonale et 0 ailleurs. Posons $ \vec{b} $ le vecteur colonne de taille $ n $ et dont la $ i $eme composante vaut $ i $. On pose la fonctionnelle:
$$
\psi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\\
\vec{x}\mapsto \frac{1}{2}\vec{x}^\top A\vec{x}-\vec{b}^{\top}\vec{x}.
$$
Le problème revient à trouver le minimum de $ \psi $. On vérifie aisément que $ \psi $ est continue sur $ \mathbb{R}^n $, et que $ \psi(x) $ tend vers $ +\infty $ quand $ \lVert\vec{x}\rVert $ tend vers $ +\infty $. Donc $ \psi $ admet au moins un minimum. De plus $ \psi $ est strictement convexe donc ce minimum est unique. En calculant la différentielle de $ \psi $, on obtient
$$
\mathrm{d}\psi(\vec{x})(\vec{h})=\vec{h}^\top(A\vec{x}-\vec{b})
$$
Au point où le minimum de $ \psi $ est atteint, cette valeur s'annule pour tout $ \vec{h} $. Donc, le minimum est atteint en $ \vec{x}=A^{-1}\vec{b} $.

Revenons au cas particulier. On a donc ue le minimum est atteint quand $ x_i=i/2 $. Et le minimum est $ -\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}i^2 $.


Bonjour, n'est ce pas la forme différentiel de la méthode du multiplicateur de Lagrange ?
-sup: public -> Spé:chez moi.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. juin 19, 2018 9:59 pm

Bonsoir,

énoncé 148 : dénombrement
On prend une urne pleine de k boules blanches indiscernables et n boules noires indiscernables.
On tire toutes les boules une à une sans remise.
Combien y-a-t-il de tirages possible, avec pour dernière boule tirée, une boule noire ?

Bonne soirée.

alvaare
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Re: Les dattes à Dattier

Message par alvaare » mer. juin 20, 2018 8:47 am

Dattier a écrit :
mar. juin 19, 2018 9:59 pm
Bonsoir,

énoncé 148 : dénombrement
On prend une urne pleine de k boules blanches indiscernables et n boules noires indiscernables.
On tire toutes les boules une à une sans remise.
Combien y-a-t-il de tirages possible, avec pour dernière boule tirée, une boule noire ?

Bonne soirée.
Par symétrie, cet exercice revient à trouver les tirages possibles qui commencent par une boule noire. On peut alors enlever cette boule de l'urne et chercher tous les tirages possibles avec k boules blanches et n-1 boules noires: $ {n+k-1}\choose{k} $
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. juin 20, 2018 8:57 am

Bonjour,

Bravo.

Bonne journée.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. juin 26, 2018 6:28 pm

Bonjour,


énoncé 149 : $ \textit{ Racine fonctionnelle } $
Trouver une fonction $g$ de $[-1,0]$ dans lui même et une approximation de $g$ sur $-1,1/2,0$ à $10^{-1}$ : vérifiant $g(g(x))=x^2+2x$


énoncé 150 : $ \textit{ Racine fonctionnelle 2 } $
Trouver une fonction $g$ de $[-1,1]$ dans lui même et une approximation de $g$ sur $-1,0,1$ à $10^{-1}$ : vérifiant $g(g(x))−4g(x)=x^2$.


Bonne journée.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. juil. 01, 2018 9:03 pm

un peu de crypto :

Image
Modifié en dernier par Dattier le lun. août 06, 2018 3:50 pm, modifié 1 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. juil. 01, 2018 9:08 pm

Bonus : Montrer que savoir casser Diffie-Hellmann est équivalent à savoir calculer f

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Re: Les dattes à Dattier

Message par 1sala23 » lun. juil. 02, 2018 12:16 am

Dattier a écrit :
jeu. juin 14, 2018 2:51 pm
Salut,

énoncé 145 : minimisation
Trouver le minimum de : $ \sum \limits_{i=1}^n (x_i^2-i\times x_i) $.

Bonne journée.
$ \sum \limits_{i=1}^n (x_i^2-i\times x_i) = \sum \limits_{i=1}^n (x_i\times (x_i - i)) $

L'extremum de la fonction $ f(x_i) = x_i^2 -ix_i $ est $ -\frac{-i}{2\times 1} $ soit $ \frac{i}{2} $. Donc le minimum de $ \sum \limits_{i=1}^n (x_i^2-i\times x_i) $ s'obtient avec $ x_i = \frac{i}{2} $.

Et $ \sum \limits_{i=1}^n ((\frac{i}{2})^2-i\times \frac{i}{2}) $
$ = \sum \limits_{i=1}^n (-\frac{i^2}{4}) $
$ = -\frac{1}{4} \times \sum \limits_{i=1}^n i^2 $
$ = -\frac{1}{4} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $
$ = -\frac{n(n+1)(2n+1)}{24} $
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Hibiscus » lun. juil. 02, 2018 2:54 am

C'est pas des maths, mais vu l'ambiance du fil, je me suis dit, pourquoi ne pas le proposer :
(peut-être est-il mieux placé dans la rubrique des rentrées en mpsi...)

Soit A le langage constitué de la seule chaîne s, telle que

$ s= \begin{cases} 0 &\text{Si Dieu n'existe pas} \\
1 & \text{Si Dieu existe}\\
\end{cases} $

Est-il décidable ? Pourquoi ?
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Re: Les dattes à Dattier

Message par 1sala23 » lun. juil. 02, 2018 10:21 am

Hibiscus, je ne comprends pas la question, que veux dire "Est-il décidable" ?
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Re: Les dattes à Dattier

Message par siro » lun. juil. 02, 2018 10:33 am

Une notion d'info théorique, tu verras ça normalement en 1A/L3 dans une école qui enseigne l'info théorique.

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9cidabilit%C3%A9

En gros, pour faire simple, une question décidable est une question à laquelle on peut répondre "oui ou non". Par exemple "pour p donné, p est-il premier ?" est décidable. Par contre, "pour X un programme informatique, X va-t-il se terminer" est a priori indécidable.

(Je reste flou sur le sens précis des termes. En général on enseigne ça avec les machines de Turing.)

@Hibiscus : t'es sûr que c'est au programme de MPSI (ou même de prépa), la décidabilité ? Moi pas...
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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