Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. août 07, 2018 6:17 am

\( \dfrac{e^t-e^a}{t-a}>e^a \) si $t>a$
$\dfrac{e^t-e^a}{t-a}<e^a$ si $t<a$
alors $t \neq a$ on a bien l'inégalité dont tu parlais... il me manquait des étapes.

Bravo.

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oty20
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » mar. août 07, 2018 6:22 am

ou par accroissement fini .
oty20 a écrit :
mar. août 07, 2018 1:05 am
\( |e^{t}-e^{a}| = e^{c} |t-a| \) \( c~~entre~~t~~et~~a \) si \( t \geq a \) c'est évident

si \( t\leq a \)

\( -(e^{t}-e^{a}) \leq e^{a} \times [-(t-a)] \) en multiplie par moins -1 cela reste vrai.
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. août 07, 2018 12:08 pm

Bonjour,

161 : le théorème de convergence dominée 2.0
Si \( (f_n)_n \) une suite de $C^1([0,1])$ convergent simplement vers g continue par morceaux et intégrable sur [0,1], tel que :
$\forall n\in\mathbb N,f_n'<h$ avec $h$ localement intégrable sur ]0,1[.
A-t-on $\lim \int_0^1 f_n=\int_0^1 g$ ?

162 : le théorème de convergence dominée 3.0
Si \( (f_n)_n \) une suite de $C^2([0,1])$ convergent simplement vers g intégrable sur [0,1], tel que :
$\forall n\in\mathbb N, f_n''<h$ avec $h$ localement intégrable sur ]0,1[.
A-t-on $\lim \int_0^1 f_n=\int_0^1 g$ ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. août 07, 2018 12:52 pm

163 : le théorème de convergence dominée 4.0
Si \( (f_n)_n \) une suite de $C^1([0,1])$ convergent simplement vers g continue par morceaux et intégrable sur [0,1], tel que :
$\exists M\in\mathbb R, \forall n\in\mathbb N,f_n'-M f_n<h$ avec $h$ localement intégrable sur ]0,1[.
A-t-on $\lim \int_0^1 f_n=\int_0^1 g$ ?

V@J
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Re: Les dattes à Dattier

Message par V@J » mer. août 08, 2018 11:29 am

Dattier a écrit :
jeu. avr. 05, 2018 4:44 pm
énoncé 93 : impossible à trouver ?
Trouver \( p \) premier tel que : \( P(x)=x^{\frac{p-1}{2}} \mod p, P(1)=P(2)=P(3)=...=P(22) \), et avec \( p\neq 11013658661829071 \) et \( p \neq 197521 \).
Il suffit de prendre \( p = 53881 \) : en effet, il suffit de montrer que 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19 sont bien des carrés modulo \( p \), ce que l'on peut faire en vérifiant (de préférence à la calculatrice) que ces nombres ont respectivement 11740, 7899, 12086, 3258, 15239, 4935, 5043 et 10890 pour racines carrées modulo \( p \). :mrgreen:

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. août 08, 2018 5:24 pm

Bravo, je pensais à tord que 197521 était la plus petite valeur.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. août 08, 2018 10:55 pm

@Vaj : j'avais pourtant enlevé le 93 de la liste, car il avait été tombé dans un autre site.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » sam. août 11, 2018 11:11 pm

Bonsoir,

164 : Décomposition convexe et concave 1
Soit $f \in C^2([0,1])$. A-t-on $g,h$ convexes tel que $f=h-g$ ?

165 : Décomposition convexe et concave 2
Soit $f \in C^1([0,1])$. A-t-on $g,h$ convexes tel que $f=h-g$ ?

166 : Décomposition convexe et concave 3
Soit $f \in C([0,1])$. A-t-on $g,h$ convexes tel que $f=h-g$ ?

Bonne soirée.

BobbyJoe
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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » lun. août 13, 2018 9:40 am

***La réponse à la 164 est oui : car une fonction $\mathcal{C}^{1}$ est différence de deux fonctions croissantes (il suffit de considérer les parties positives et négatives de la dérivée de la fonction). On obtient le résultat de l'exercice en intégrant cette décomposition.
***La réponse à la 166 est non : on choisit pour $f$ une fonction continue dérivable en aucun point (ni même à gauche ou à droite). Vu qu'une fonction convexe est dérivable à gauche ou à droite en tout point, on aurait que $f$ serait dérivable à gauche ou à droite en tout point, ce qui est impossible!
Remarque : pour aller plus vite, on peut utiliser qu'une fonction convexe est dérivable pp et donc $f$ le serait aussi ce qui est impossible!
***La réponse à la 165 est non : on choisit pour $f$ une primitive d'une fonction continue, dérivable en aucun point. Si une telle décomposition pour $f$ existait alors $f'$ serait différence de deux fonctions croissantes (les dérivées à droite ou à gauche de la décomposition en fonctions convexes) et donc serait dérivable en presque tout point, ce qui n'est pas possible vu que $f'$ n'est dérivable en aucun point.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » lun. août 13, 2018 11:40 am

Pour la 164 et 166 bravo.

Pour la 165 : bravo, mais il manque la justification que toute fonction monotone est dérivable presque partout.

BobbyJoe
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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » lun. août 13, 2018 3:01 pm

Pour la 165... J'imagine que cela était implicite mais certes, il est exact que j'aurais du citer ce résultat clairement!
Ce qui m'intringue en revanche est : est-il possible de produire une preuve de ces exercices (du moins le 165) en faisant appel exclusivement au programme de prépa?

Nabuco
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » lun. août 13, 2018 3:33 pm

BobbyJoe a écrit :
lun. août 13, 2018 3:01 pm
Pour la 165... J'imagine que cela était implicite mais certes, il est exact que j'aurais du citer ce résultat clairement!
Ce qui m'intringue en revanche est : est-il possible de produire une preuve de ces exercices (du moins le 165) en faisant appel exclusivement au programme de prépa?
Oui suffit de trouver f' continue à variation non bornée, ce qui semble moins bourrin que le théorème utilisé.

BobbyJoe
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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » lun. août 13, 2018 4:22 pm

En effet, typiquement une fonction continue nulle part monotone... Mais bon, le point crucial est tout de même qu'une fonction à variations bornées est aussi dérivable en presque tout point donc bon... (c'est le point essentiel à mon avis pour produire la contradiction!)

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » lun. août 13, 2018 8:28 pm

@Nabuco : Bravo.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. août 14, 2018 12:28 am

Bonsoir,

167 : Incroyable mais vrai ?
Déterminer \( G \mod 10^{167} \). On justifiera la méthode.

Avec $G$ le nombre de Graham

Bonne soirée.

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