Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » ven. avr. 19, 2019 11:32 pm

257 : L'ensemble de Brouwer
$EB\subset C([0,1]^n,\mathbb R^n)$ est l'ensemble des fonctions continues avec un point fixe, munit de la norme uniforme.
a/ $EB$ est-il fermé ?
b/ $EB$ est-il connexe ?

258 : Toute fonction est-elle continue ?
Soit $f$ une fonction réel quelconque. Existe-t-il, $g,h$ des bijections réels tel que : $g \circ f \circ h $ soit continue ?
Modifié en dernier par Dattier le sam. avr. 20, 2019 12:09 pm, modifié 1 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » ven. avr. 19, 2019 11:41 pm

259 : Composer non entière
Soit $A$ ensemble fini, $f$ une fonction de $A$ dans lui même.
1/ Peut-on trouver $f^{1/2}$ une fonction de $A$ dans $A$ tel que $f^{1/2} \circ f^{1/2}=f$ ?
2/ Si $f^{1/2}$ n'existe pas toujours, trouver un subterfuge pour définir un $f^{1/2}$ qui va bien ?


260 : la vraie bijection
Si $A$ est en vrai bijection avec $B$ sous parties de $\mathbb N$ et $A \subset B$ alors $A=B$ : (1)
Si $A$ et $B$ finie sous partie de $\mathbb N$, alors $A$ et $B$ est en vrai bijection ssi $\text{card}(A)=\text{card}(B)$ : (2)

Trouvez une définition de la vraie bijection des sous parties de $\mathbb N$, tel que :
(1) et (2) soient vraies.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » sam. avr. 20, 2019 12:49 pm

261 : Convergence de suite de racines imbriqués
a/ La suite $u_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{2^{2^2}+... \sqrt{2^{n^2}}}}}$ converge-t-elle ?

b/ La suite $u_n=\sqrt{2+\sqrt{2^{2}+\sqrt{2^{2^2}+... \sqrt{2^{2^n}}}}}$ converge-t-elle ? Si oui, déterminer la limite.

c/ Trouver une CNS sur la suite réelle strictement positive $(a_n)_n$ pour que la suite $u_n=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+...\sqrt{a_n}}}$ converge.


262 : Avec ou sans super-claculateur
Soit $u_0=6, u_1=4$ et $u_{n+2}=\dfrac{u_{n+1}+u_{n}}{1+u_n\times u_{n+1}} \mod 2^{100}$.
Calculer $u_{3^{2019}}$.

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Message par certus » sam. avr. 20, 2019 12:55 pm

Pour 261 il suffit d'utiliser Herchsfeld's convergence theorem

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Message par Dattier » sam. avr. 20, 2019 12:58 pm

un lien ?
Et quelle est la limite dans le b/ ?

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Message par Dattier » sam. avr. 20, 2019 4:15 pm

263 : neutre et absorbant
Soit $(A,+)$ un monoïde commutatif fini, non trivial (pas réduit à un singleton)
a/ $(A,+)$ a-t-il alors un élément neutre ou un élement absorbant ?
b/ Peut-on trouver $(A,+)$ monoïde avec un élement neutre et un élément absorbant ?


264 : commutativité et point fixe
$\mathbb R^n$ euclidien avec $f,g$ 2 fonctions continues de la boule unité, vers la boule unité, avec $f$ et $g$ 1-lipschitz et $f\circ g=g\circ f$.
A-t-on l'existence d'un point fixe commun à $f$ et $g$ ?
Modifié en dernier par Dattier le sam. avr. 20, 2019 5:57 pm, modifié 1 fois.

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Message par certus » sam. avr. 20, 2019 4:39 pm

119 oui elle converge
120 oui aux deux questions
262 Avec tangente hyperbolique ça ne marche pas car il y a mod 2^100
Modifié en dernier par certus le sam. avr. 20, 2019 7:36 pm, modifié 1 fois.

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Message par Dattier » sam. avr. 20, 2019 5:39 pm

certus a écrit :
sam. avr. 20, 2019 4:39 pm
1/ 119 oui elle converge
120 oui aux deux questions

2/ 262 poser u(n)=th(x(n)) tangente hyperbolique de x(n) , on a Fibonacci
1/ Il faut justifier tes réponses.

2/ relis le contexte de la question, tel quel ce que tu proposes ne marche pas, sauf à développer d'avantage.

PS : j'attends toujours ton lien pour la 261.

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Message par Dattier » sam. avr. 20, 2019 6:35 pm

265 : Recouvrement minimal clin d'oeil à GBZM
Soit $\mathbb K$ un corps fini, $n>1$ un entier, on se place dans le $\mathbb K$-ev $\mathbb K^n=E$.
Combien au minimum faut-il d'hyper-plans pour recouvrir $E$ ?


266 : Commutativité et composition version fini
Soit $A$ un ensemble fini, avec $f,g$ fonction de $A$ dans lui même qui commute : $f\circ g =g \circ f$.
A-t-on l'existence de $h$ fonction de $A$ dans lui même tel que : $f=h^i$ et $g=h^j$ avec $h^2=h \circ h$ ?

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Message par Dattier » dim. avr. 21, 2019 12:36 pm

267 : Groupe non sur-saturé
Un groupe $G$ est dit non sur-saturé ssi $\forall a \in G,\forall n \in\mathbb N^*, \text{card}(\{x \in G \text{ ; } x^n=a\}) \leq n$.
Déterminer quels sont les groupes abéliens $G$ finis qui sont non sur-saturés.

268 : entiers premiers
Déterminer les $P \in \mathbb Z[x]$, tel que $\exists p_1,...p_k$ entiers premiers $\forall n \in \mathbb N,\forall p$ entier premier $p|P(n)\neq 0$ alors $p|p_1\times ...\times p_k$.

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Message par saysws » dim. avr. 21, 2019 2:43 pm

267 : les $ \mathbb Z / n \mathbb Z $, si j'ai rien oublier.
On voit bien que pour eux ça marche, et si on prend un groupe commutatif fini quelconque en le décomposant en somme directe de $ \mathbb Z / n_i \mathbb Z $ (où $ n_1 |\cdots |n_{\max} $) on voit que si un nombre premier apparaît deux fois dans la décomposition, on peut écrire en réarrangeant un peu $ G \simeq H \times (\mathbb Z/p \mathbb Z)^2 $ qui est sur-saturé, comme les $ n_i $ divisent ceux qui suivent, on en a qu'un, on conclut par unicité de la décomposition.

Après le théorème de classification des groupes abéliens fini est assez loin du programme de prépa, mais ça doit ce faire avec douleur avec des outils de prépa une fois qu'on a intuité le résultat, m'enfin j'ai pas eu le courage :?

Je passais par là, et étrangement je me suis dis que j'allais en essayer une comme ça :mrgreen:
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. avr. 21, 2019 2:59 pm

@Saysws : pas mal, mais, il me semble que l'on peut faire sans le théorème de classification des groupes abéliens.

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Message par Dattier » dim. avr. 21, 2019 5:11 pm

269 : Groupe non sur-saturé +
Un groupe $G$ est dit non sur-saturé ssi $\forall a \in G,\forall n \in\mathbb N^*, \text{card}(\{x \in G \text{ ; } x^n=a\}) \leq n$.
Déterminer quels sont les groupes finis $G$ qui sont non sur-saturés.


270 : suite de P-Cauchy
On dit que $x_n$ suite d'un espace métrique est de P-Cauchy (P pour pseudo) ssi :
$\forall e>0, \exists N \in \mathbb N, \forall n \in\mathbb N,n\geq N,\exists P \in \mathbb N, \forall p \in\mathbb N, p \geq P, |x_n-x_p| \leq e$

Une suite de P-Cauchy est-elle de Cauchy ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Mathoss » dim. avr. 21, 2019 5:49 pm

Dattier a écrit :
dim. avr. 21, 2019 5:11 pm
269 : Groupe non sur-saturé +
Un groupe $G$ est dit non sur-saturé ssi $\forall a \in G,\forall n \in\mathbb N^*, \text{card}(\{x \in G \text{ ; } x^n=a\}) \leq n$.
Déterminer quels sont les groupes finis $G$ qui sont non sur-saturés.

Si dans un groupe fini l'équation x^d = e (le neutre du groupe) a au plus de solutions pour tout de>=1, alors G est cyclique déjà.
Ça se montre très vite à partir de l'identité : somme sur d|n des φ(d) = n.
Donc, si G est non sur-saturé, on en déduit que G est cyclique.

Réciproquement, je pense que la cyclicité suffit à la sur-saturation.
On peut prendre pour (G,•) le groupe (Z/nZ,+) le groupe cyclique canonique.
Soit d dans N*, a dans Z/nZ, soient x,y deux solutions de d*x=a.
On peut se limiter à d<=n.
On se ramène à l'équation homogène d*(x-y)=0 qui a exactement n solutions si d est premier avec n.
Donc, si n!=1, n-1 est premier avec n et on a : (n-1)*x=0 admet n solutions et n>n-1
Ça imposerait donc d'avoir n=1 et le seul groupe qui conviendrait serait (Z/1Z,+)

Je viens de lire la réponse au dessus, j'ai peut-être écrit n'importe quoi :roll:
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. avr. 21, 2019 5:55 pm

Citations Mathoss :
1/ Si dans un groupe fini l'équation x^d = e (le neutre du groupe) a au plus de solutions pour tout de>=1, alors G est cyclique déjà...
2/ On se ramène à l'équation homogène d*(x-y)=0 qui a exactement n solutions si d est premier avec n...


1/ Je ne connais pas ce résultat (dans le cas non forcément commutatif), aurais-tu un lien ? de=d ?

2/ Si d et n sont premiers alors on a une seule solution, non ?

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