Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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mik2000
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Re: Les dattes à Dattier

Message par mik2000 » sam. mai 11, 2019 5:44 pm

Salut Mister dates, bonne idée le pdf ! Tes exos ont l'air cool ! J'espère trouver un moment en juillet maybe pour plancher dessus !

Ps : ça correspond à quel niveau ou quelles " écoles " ? Olympiades, ENS , trucs que font les british :wink: ? Tu les créés toi même ou tu t inspires d un cours ? Merci
Ps2: ça na pas du tout la tronche des exos d oraux , même X, en tout cas 😉

Mik

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » sam. mai 11, 2019 5:56 pm

Salut,

Cela serait plus du genre olympiade à l'ancienne (énoncé cours avare en indication) (niveau max agreg), mais la plus part sont faisable avec le niveau MP, et pratiquement toutes les énigmes ont une réponse de quelques lignes, si vous dépassez les dix lignes dans la rédaction, c'est que certainement on n' a pas pris le même chemin... :D

Ceux que j'ai compilé dans le pdf sont du site les-maths.net qui consistuent les premières questions de ce fil.

J'ajouterais peut-être aussi, la partie de ce site.

Cordialement.

mik2000
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Re: Les dattes à Dattier

Message par mik2000 » sam. mai 11, 2019 6:07 pm

Okay je vois ! Coool
C'est vrai que ça fait olympiades " internationales" bien que je n'ai jamais eu le temps de les passer
( ps : j avais feuilleté ce bouquin mais faute de temps je n'ai pas cherche d exos
https://www.amazon.fr/Hypermath-120-exe ... 2711753018)
Ps2: je trouve très bonne ton initiative, le seul soucis encore une fois cest le manque de temps ...)

Tu m'as l'air vachement investi dans les maths c'est trop biiiien, après je ne sais pas si ton public se trouve sur ce forum.. .. créé un site Web ! :D

Mik

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Re: Les dattes à Dattier

Message par mik2000 » sam. mai 11, 2019 6:12 pm

Donc c'est des maths " brèves "... et efficaces ! Un peu tout le contraire des maths en mpsi MP ou ça dure ... des heures pour.. .. des matrices symétriques définies positives encore :mrgreen:

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. mai 19, 2019 1:40 pm

Bonjour,

énoncé 279 : suite récurrente non linéaire
$u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n^2+2u_n$. Calculer $u_{3^{2019}} \mod 2^{89}-1$.

énoncé 280 : suite récurrente non linéaire
$u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n^2-2u_n$. Calculer $u_{3^{2019}} \mod 2^{89}-1$.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. mai 19, 2019 1:46 pm

énoncé 281 : suite récurrente non linéaire
$u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n^2-1$. Calculer $u_{3^{2019}} \mod 2^{100}$.

énoncé 282 : suite récurrente non linéaire
$u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n^2+1$. Calculer $u_{3^{2019}} \mod 2^{100}$.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. mai 19, 2019 2:38 pm

énoncé 283 : nombre univers
$$U=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{2^{k(k-1)/2}}\times \dfrac{1}{5^{k(k+1)/2}}$$ $U$ est-il un nombre univers en base 10 ?

énoncé 284 : suite de nombre univers
Existe-t-il $(u_n)$ une suite injective de nombre univers qui tend vers un nombre univers ?
Tout ceci en base 10.
Modifié en dernier par Dattier le dim. mai 19, 2019 2:56 pm, modifié 1 fois.

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Message par Dattier » dim. mai 19, 2019 2:52 pm

énoncé 285 : nombre univers universel (QO : question ouverte)
Existe-t-il un nombre univers pour n'importe quelle base strictement plus grande que 1 ?

énoncé 286 : nombre non-univers QO
Existe-t-il un nombre irrationnel non univers pour n'importe quelle base strictement plus grande que 1 ?
Modifié en dernier par Dattier le jeu. mai 23, 2019 8:26 pm, modifié 1 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. mai 19, 2019 3:36 pm

énoncé 287 : nombre phobique
Un nombre en base $b$ est dit $a$-phobique, s'il n'existe pas de $a$ dans son développement en base $b$.
Déterminer les nombres réels en base $2$ qui sont :
a/ 01-phobique
b/ 10-phobique

énoncé 288 : nombre phobique
Déterminer les nombres réels en base $2$ qui sont 00-phobique.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » mar. mai 21, 2019 7:25 am

Dattier a écrit :
sam. avr. 28, 2018 10:56 am
Bonjour,


énoncé 120 : préliminaire aux 118
A-t-on $ 2=\sqrt{2+\sqrt{2+...}} $ et $\phi=\sqrt{1+\sqrt{1+...}}$ ?


Bonne journée.


Celui là à subsister trop longtemps.
voici 2 approche : Lemme si on pose $x_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+....+\sqrt{2}}}$ avec $n$ apparition du chiffre $2$, alors $x_{n}=2 \cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})$ (preuve se fait par une récurrence simple) ce qui permet de conclure par passage à la limite sinon :

on s’intéresse à la limite de $x_{n}$ avec $x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{2+x_{n}}$ on a $x_{n} \in ]0,2[$ $x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2}=(2+x_{n})-(2+x_{n-1})=x_{n}-x_{n-1}$ comme $x_{1} <x_{2}$ la suite est croissante donc converge vers $l$ avec $l=\sqrt{2+l}$ on garde $l=2$ .

Pour la seconde on fait un raisonnement analogue sauf que cette fois on finit avec $x_{n+1}=\sqrt{1+x_{n}}$ avec $x_{1}=1$ et donc $x_{n+1}^{2}=1+x_{n}$ la suite est clairement croissante il suffit démontrer qu'elle est majoré pour conclure, on cherche $M$ tel que $x_{n} \leq M$ pour tout $n$, supposant $x_{n}\leq M$ pour un certain $n$ , il faut que $x_{n+1}^{2}=1+x_{n}$ soit aussi majoré par $M$, donc $\sqrt{1+M} \leq M$ on prend donc $M=\frac{1}{2} (1+\sqrt{5})=\phi$ on vérifie aisément que $x_{n} \leq \phi$ par récurrence, ce qui permet de conclure encore une fois.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » mar. mai 21, 2019 7:49 am

Dattier a écrit :
sam. avr. 28, 2018 10:56 am
Bonjour,

énoncé 119 : préliminaire aux 118
A-t-on $\forall (e_n)_n\in\{1,2\}, \sqrt{e_1+\sqrt{e_2+...}}$ est défini ?


Bonne journée.
On pose $x_{n}=\sqrt{e_{1}+\sqrt{e_{2}+...+\sqrt{e_{n}}}}$ $x_{n}$ est clairement croissante avec
on a $e_{n} \leq 2$ donc $x_{n} \leq \sqrt{2+\sqrt{2+.......}}=2$ par suite $x_{n}$ converge donc c'est bien définie.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par oty20 » mar. mai 21, 2019 10:31 am

Dattier a écrit :
ven. avr. 27, 2018 5:26 pm
énoncé 118 : limite en or
Soit $a\in [\phi,2]$ (avec $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ le nombre d'or)
A-t-on l'existence de $(e_n)_n \in \{1,2\}^\mathbb N$ tel que $ a=\sqrt{e_1+\sqrt{e_2+\sqrt{e_3+...}}} $ ?
Celui me semble difficile, j'ai essayé un truc qui me permet de prouver le constat avec $2t_{i}$ , $t_{i} \in \{-1,1\}$ au lieu de $e_{i}$ :?
Avez-vous une solution ?
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » mar. mai 21, 2019 10:48 am

oty20 a écrit :
mar. mai 21, 2019 10:31 am
Dattier a écrit :
ven. avr. 27, 2018 5:26 pm
énoncé 118 : limite en or
Soit $a\in [\phi,2]$ (avec $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ le nombre d'or)
A-t-on l'existence de $(e_n)_n \in \{1,2\}^\mathbb N$ tel que $ a=\sqrt{e_1+\sqrt{e_2+\sqrt{e_3+...}}} $ ?
Celui me semble difficile, j'ai essayé un truc qui me permet de prouver le constat avec $2t_{i}$ , $t_{i} \in \{-1,1\}$ au lieu de $e_{i}$ :?
Avez-vous une solution ?
A priori la méthode naturelle serait de créer (si possible) par récurrence an tq pour tout n
rac(a1+rac(a2 + .. +rac(an +rac(1 + rac(1 +...<= a < rac(a1+ra(a2 +... +rac(an +rac2 + rac(2 ...
et ensuite pouvoir passer à la limite
Pas sur que ça marche mais ça me semble être une piste décente

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » mar. mai 21, 2019 11:00 am

Bon en fait en regardant ce que vaut e1 on peut conclure. Notons que si on prend la suite égale à 1 ça vaut phi, si on prend la suite (en) valant 2 donne 2
Soit (en) une suite de 1 ou 2, et a la racine moche
Si e1 vaut 1 a est entre rac(1+phi)=phi et rac(1+2)
Si e2 vaut 2 a est entre rac(2+phi) et rac(2+2)=2
Bilan a ne peut pas appartenir à rac(3), rac(2+phi)

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mar. mai 21, 2019 11:56 am

@Oty : 120 et 119 : Bravo

@Nabuco : 118 : Bravo

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