Les dattes à Dattier

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Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Salimovich
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Salimovich » lun. mai 27, 2019 4:09 am

Bonjour, je n'ai pas lu l'intégralité du fil mais me suis arrêté à cette réponse :
Koppnayw a écrit :
sam. juil. 29, 2017 2:38 pm
énoncé 31
SPOILER:
Oui. On pose $ f(x,y)=e^{x+y}-e^{x}-e^{y} $.
On dérive par rapport à $ x $ et par rapport à $ y $. Les dérivées partielles sont positives puisque $ x $ et $ y $ le sont donc la fonction admet un minimum en $ x=y=0 $.
Peut-on
SPOILER:
Fixer b dans $ \mathbb R_+\ $, poser $ \forall a\in\mathbb R_+, f(a)=e^{a+b}-e^{a}-e^{b}-1 $, dériver la fonction et montrer que $ b \geq\ 0 $ implique qu'elle est positive sur son intervalle de définition et donc que $ \forall a\in\mathbb R_+, f(a) \geq\ f(0)\geq\ -2 $ qui donne le résultat demandé ?
Je suis en Terminale donc les dérivées partielles de la réponse de Koppnayw je connais pas mais ça m'a l'air d'être la même idée :)

Inversion
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Inversion » lun. mai 27, 2019 6:33 am

Oui c'est exactement la même chose. :D
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Nabuco
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » jeu. mai 30, 2019 9:29 pm

251 : Les suites à support finies à valeurs dans Q étant dénombrable, il existe q1... qn dans Q tels que q1 f1 + ... + qn fn=0 en un nombre infini de points. Par zéro isolé, les fi ne sont pas R libres si elles sont DSE.
Si elles sont C infini c'est faux (si I=[0,1] prendre une fonction f C infini nulle sur [0,1/2] puis strictement positive, puis f \circ (1-id), la construction se généralise pour tout intervalle en complétant par les X^n pour avoir une suite infinie), la famille est évidemment non Q libre car en chaque point une des fonctions est nulle).

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. mai 30, 2019 10:33 pm

@Nabuco : Bravo (mais il me semble qu'il manque un argument pour la première partie, tu n'expliques pas pourquoi il pourrait exister un tel x).

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. juin 02, 2019 2:17 pm

Bonjour,

290 : une question de bijectivité
Soit $n \in \mathbb N^*$, et $f : \{0,1\}^n \rightarrow [0,2^n-1] \cap \mathbb N$ tel que, pour $x \in \{0,1\}^n,\sum \limits_{i=1}^n x_i \times a_i=f(x)$, avec $a_i \in \mathbb N$.
Trouver une CNS sur les $a_i$ pour que $f$ soit bijective.

Bonne journée.
Modifié en dernier par Dattier le sam. juin 08, 2019 11:41 pm, modifié 1 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » dim. juin 02, 2019 2:32 pm

Dattier a écrit :
jeu. mai 30, 2019 10:33 pm
@Nabuco : Bravo (mais il me semble qu'il manque un argument pour la première partie, tu n'expliques pas pourquoi il pourrait exister un tel x).
J'ai pas compris ce qui pose problème (déjà on peut se restreindre à I fermé borné non trivial, I est indénombrable d'où le premier argument, et ensuite c'est juste qu'on a une valeur d'adhérence car I est compact). D'ailleurs n'ayant pas parlé de x je ne vois pas ce que tu veux dire

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. juin 02, 2019 4:11 pm

Je ne comprends pas ton explication :
Nabuco a écrit :
jeu. mai 30, 2019 9:29 pm
251 : Les suites à support finies à valeurs dans Q étant dénombrable, il existe q1... qn dans Q tels que q1 f1 + ... + qn fn=0 en un nombre infini de points. Par zéro isolé, les fi ne sont pas R libres si elles sont DSE.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » dim. juin 02, 2019 4:37 pm

Dattier a écrit :
dim. juin 02, 2019 4:11 pm
Je ne comprends pas ton explication :
Nabuco a écrit :
jeu. mai 30, 2019 9:29 pm
251 : Les suites à support finies à valeurs dans Q étant dénombrable, il existe q1... qn dans Q tels que q1 f1 + ... + qn fn=0 en un nombre infini de points. Par zéro isolé, les fi ne sont pas R libres si elles sont DSE.
Si pour tout x de I les (fn(x)) ne sont pas Q libres alors il existe qn(x) telle que pour tout x (qn(x)) est une suite de rationnel à support fini et la somme des qn(x)fn(x)=0. Dans ce cas comme la fonction (qn(x))_n dans N prend un nombre au plus dénombrable de valeur elle prend une valeur un nombre infini de fois d'où il existe q1 ... qn tels que q1 f1 + ... + qn fn=0 en un nombre infini de points

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. juin 02, 2019 5:24 pm

Ok, là je comprends, en fait tu prouvais la contraposée.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par zygomatique » dim. juin 02, 2019 7:19 pm

Salimovich a écrit :
lun. mai 27, 2019 4:09 am
Bonjour, je n'ai pas lu l'intégralité du fil mais me suis arrêté à cette réponse :
Koppnayw a écrit :
sam. juil. 29, 2017 2:38 pm
énoncé 31
SPOILER:
Oui. On pose $ f(x,y)=e^{x+y}-e^{x}-e^{y} $.
On dérive par rapport à $ x $ et par rapport à $ y $. Les dérivées partielles sont positives puisque $ x $ et $ y $ le sont donc la fonction admet un minimum en $ x=y=0 $.
Peut-on
SPOILER:
Fixer b dans $ \mathbb R_+\ $, poser $ \forall a\in\mathbb R_+, f(a)=e^{a+b}-e^{a}-e^{b}-1 $, dériver la fonction et montrer que $ b \geq\ 0 $ implique qu'elle est positive sur son intervalle de définition et donc que $ \forall a\in\mathbb R_+, f(a) \geq\ f(0)\geq\ -2 $ qui donne le résultat demandé ?
Je suis en Terminale donc les dérivées partielles de la réponse de Koppnayw je connais pas mais ça m'a l'air d'être la même idée :)
idem pour moi, je ne passe que ... quand je passe ... :mrgreen:

sans même parler de dériver partielle ou non

$ e^{x + y} - e^x - e^y + 1 = (e^x - 1)(e^y - 1) $ est le produit de deux nombres positifs sur R+

PS :
Dattier a écrit :
mar. mai 21, 2019 12:36 pm
Je rappelle mon objectif : c'est d'avoir des énigmes avec une solution de quelques lignes tellement astucieuses quelle résiste à la sagacité des cueilleurs.
Savoir, c'est connaître par le moyen de la démonstration. ARISTOTE

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. juin 05, 2019 10:10 pm

Bonsoir,

291 : caractérisation séquentielle des sigma-compacts
Soit $(E,T)$ un espace munit d'une topologie, on dit que $E$ est sigma-compact si :
pour tout recouvrement infini d'ouvert $(O_i)_{i\in I}$ il en existe un sous-recouvrement dénombrable $(O_{i_n})_{n \in \mathbb N}$.

Dans le cas d'un espace métrique, déterminer une caractérisation séquentielle de la sigma-compacité.



292 : Borne sur les sigma-compacts
a/ Existe-t-il une borne du cardinal atteinte sur les compacts métriques ?
b/ Existe-t-il une borne du cardinal atteinte sur les sigma-compacts métriques ?

Bonne soirée.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. juin 05, 2019 10:55 pm

293 : involution continue
Soit $f$ involution ($f \circ f=f$) de $C([0,1])$.
a/ Existe-t-il une suite de polynômes involutions qui converge uniformément vers $f$ ?
b/ Si non pour a/, qu'en est-il du cas $C^{\infty}$ ?
c/ Si non pour b/, qu'en est-il du cas $C^1$ ?


294 : inversion est-elle continue ?
Soit $f \in C([0,1])$ dont la réciproque existe et est continue.
a/ Existe-t-il une suite de polynôme $(g_n)_n$, inversible qui tendent vers $f$ avec une fonction inverse continue ?
b/ Si oui pour a/, a-t-on $\lim g_n^{-1}=f^{-1}$ uniformément ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. juin 06, 2019 12:29 pm

295 : Série alternée en cascade
Soit $ \sum u_n $ une série alternée, est-ce que la série de terme générale $ \sum \limits_{k\geq n} u_k $ est aussi alternée ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. juin 06, 2019 7:20 pm

296 : Racine scindé
Soient $ a \in \mathbb R,b \in \mathbb R_+ $.
$ P(x)=x^3+3(1-a)x^2-(b+8a)x+2b(a-1) $ est-il scindé dans $ \mathbb R $ ?

297 : Racine complexe
Soit $ a,b\in \mathbb R $ et $ P(x)=x^3+3(a-b)x^2+3(a^2+b^2+1)x+ab+1 $.
$ P $ a-t-il au moins une racine non réel ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. juin 12, 2019 9:16 pm

Bonsoir,

298 : système groupé
Résoudre dans le groupe libre engendré par $ a,b $ le système :
$ xy=a $ et $ yx=b $

Bonne soirée.

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