Utilisation du théorème de comparaison série-intégrale

[jmctiti]

Oui, changement de variable si l'on veut, mais surtout reconnaissance d'une forme $ \frac {u'}{u} $ avec $ u = \ln $.

[Lucas Variant]

Le changement de variable, je ne le vois pas... J'ai posé $ X=t\ln{(t)} $, ce qui me donne $ \int\frac{1}{X} = \ln{(X)} = \ln{(t\ln{(t)})} $ donc mon changement de variable n'est pas le bon. :/
Par contre, après remarque de @jmctiti, je reconnaît bien la forme $ \frac{u'}{u} $ puisque finalement on écrit $ \frac{\frac{1}{t}}{\ln{t}} $. Bon, je vais quand même devoir faire pas mal d'exercices pour les reconnaître plus rapidement ces formes. ^^
Bref, merci à vous tous, j'ai tout compris.

[jmctiti]

Si ça peut te rendre service, tu peux jeter un oeil sur le chapitre 《calcul de primitives》
de http://www.pcsi1.bginette.com/Exercices-JMC/MPSI-PCSI/

[Almar]

Le changement de variable à poser est $ u = ln(t) $, de sorte que $ du = \frac{1}{t}dt $. Tu te retrouves donc avec $ \int{\frac{1}{tln(t)}dt} = \int{\frac{1}{u}du} $, ce qui donne bien $ ln(u) $, qui par changement de variable est égal à $ ln(ln(t)) $. (tu avais oublié l'existance du $ dt $, ce qui rend ton calcul faux)

[clementrichou]

Le changement de variable, je ne le vois pas... J'ai posé $ X=t\ln{(t)} $, ce qui me donne $ \int\frac{1}{X} = \ln{(X)} = \ln{(t\ln{(t)})} $ donc mon changement de variable n'est pas le bon. :/
Par contre, après remarque de @jmctiti, je reconnaît bien la forme $ \frac{u'}{u} $ puisque finalement on écrit $ \frac{\frac{1}{t}}{\ln{t}} $. Bon, je vais quand même devoir faire pas mal d'exercices pour les reconnaître plus rapidement ces formes. ^^
Bref, merci à vous tous, j'ai tout compris.

Poser u=ln(t) comme changement de variable, ca revient à reconnaitre u'/u

[Lucas Variant]

...
Ah oui ^^ Je suis nul moi des fois :'D merci

[alm]

Je saisi l'occasion pour te suggérer cette façon de retenir le théorème:
Si $ f:[0,+\infty[ \to \mathbb R $ est une application $ \mathcal{CM} $ positive décroissante alors la série de terme général $ u_n=f(n)-\int_{n}^{n+1} f(t), ( n \in \mathbb N) $ est convergente.
En particulier:
- les séries $ \sum f(n) $ et $ \sum \int_n^{n+1} f(t) dt $ sont de même nature.
- La série $ \sum f(n) $ et l'intégrale $ \int_0^{+\infty} f(t) dt $ sont de même nature.