LLG Approfondissements

[Mathoss]

Salut!
J'ai pas mal avancé sur le poly transition de LLG et j'en suis aux approfondissements!
Cependant, je bloque complètement sur la résolution du 137 et du 138, je ne comprends pas comment amener le résultat!
Voilà les énoncés:
Exercice 137:
a) Montrer que la fonction :
x → cos(x)^n
est une combinaison lineaire des fonctions :
x→ cos(kx), k ∈ {0, . . . , n}.
b) Calculer en utilisant a) :
L'intégrale de -pi a pi de cos(x)^n dx.

Exercice 138 ((D,∗) Formule de Leibniz). Soient f et g deux fonctions n fois
d´erivables sur l’intervalle I de R. Montrer que la derivee n-ieme du produit fg est donnee par la formule de Leibniz :
La dérivée n-ieme de (fg)= Somme pour k décrivant {0;1...;n} des (k parmi n)*dérivée k-ieme de f * dérivée n-k-ieme de g

Je ne vois pas comment aboutir à ce résultat par récurrence en fait parce que la manipulation des dérivées dans cette somme a l'air super delicate!

Sinon, j'ai une question à propos de notations dans l'exercice 134, j'ai réussi l'éxo mais ma redaction est un peu limite, je ne vois pas comment noter A=Somme des k parmi n où k decrit l'ensemble des nombres pairs de 0 à n, respectivement pour B où l'ensemble des impairs est décrit.
De plus, comment rédiger proprement que A-B=0 ? Ma rédaction est hasardeuse sur ce point

[Karev]

Bonjour,

Pour l'exercice 137:
a) Il suffit simplement de linéariser, on apprend ça en sup mais ce n'est pas bien compliqué:
- Commence par écrire que $ (cos(x))^n= \left( \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right)^n $ (c'est la formule d'Euler)
- Utilise ensuite le binôme de Newton
- Essaye de regrouper les termes en $ e^{aix} $ avec les termes $ e^{-aix} $ afin d'utiliser le fait que $ z+\overline{z}=2\Re(z) $ et tomber sur du $ cos(ax) $.
b) Ne pose aucun problème avec a) il suffit de remplacer l'expression trouvée et d'intervertir la sommation (qui est finie) et l'intégrale.

Pour l'exercice 138: C'est effectivement une récurrence, utilise la linéarité de la dérivation pour obtenir la somme des dérivées des termes de la somme initiale. Terminer par un petit changement d'indice dans la sommation.

Pour l'exercice 134: je n'ai pas le pdf sous la main mais je te conseille de considérer que $ A+B=2^n $ et pour $ A-B $ il suffit de faire rentrer le "$ - $" dans la sommation $ B $ en remarquant que $ (-1)^k=-1 $ lorsque $ k $ est impair.

[jmctiti]

Bonjour

Pour le 137 : Utilise une formule d'Euler pour exprimer $ \cos x $, puis développe avec la formule du binôme.

Tu peux trouver de l'aide dans le chapitre complexes de http://www.pcsi1.bginette.com/Cours-Inverse/MPSI-PCSI/
plus précisément dans http://www.pcsi1.bginette.com/Cours-Inv ... php#Sect17


Pour le 138 : je te conseille de commencer par n=2,3,4,... puis d'utiliser le même type de démo que pour la formule du binôme

Pour la démonstration de la formule du binôme, tu peux trouver de l'aide dans : http://www.pcsi1.bginette.com/MSA-2015/ ... actDev.pdf

Pour le 134 : il suffit de développer (1+1)^n et (1-1)^n, peut-être en commençant par n=5 et n=6.

Bonne journée

[Mathoss]

Merci beaucoup pour le 137, je me sens bête de pas avoir pensé à la formule d'Euler!
Par contre, vous avez pas compris ma question sur le 134, j'ai réussi à démontrer que A+B=2^n puis que A-B=0 pour conclure sur une ecriture simplifiée de A et de B! Ce que je n'ai pas compris c'est comment noter par exemple "somme des k parmi n où k est pair (ou impair)", j'aimerais simplement comprendre comment le noter sous forme de sommation!
Et si vous pourriez expliciter une manière légère de démontrer que A-B=0, ma demonstration est très lourde parce que je ne suis pas très à l'aise avec la manipulation des factorielles, merci beaucoup

[jmctiti]

Merci beaucoup pour le 137, je me sens bête de pas avoir pensé à la formule d'Euler!
Par contre, vous avez pas compris ma question sur le 134, j'ai réussi à démontrer que A+B=2^n puis que A-B=0 pour conclure sur une ecriture simplifiée de A et de B! Ce que je n'ai pas compris c'est comment noter par exemple "somme des k parmi n où k est pair (ou impair)", j'aimerais simplement comprendre comment le noter sous forme de sommation!
Et si vous pourriez expliciter une manière légère de démontrer que A-B=0, ma demonstration est très lourde parce que je ne suis pas très à l'aise avec la manipulation des factorielles, merci beaucoup

Regarde un peu l'exo 46 de http://www.pcsi1.bginette.com/MSA-2015/ ... actDev.pdf
Ou encore directement http://www.pcsi1.bginette.com/MSA-2015/ ... p?NumEx=46