Equivalent et regle d'alembert

[TryHarder]

Bonjour bonjour,

Petite question : peut on appliquer la regle d'alembert ou le critere de cauchy à un equivalent de la suite qui nous interesse en premier lieu

[jmctiti]

Bonsoir

Ce serait bien, même et surtout pour pour toi, que tu précises ta question...

[TryHarder]

Je précise car en effet, la question était floue !

Lorsque l'on veut étudier la nature d'une série, on peut étudier la limite du rapport Un+1/Un avec Un le terme général de notre série. Si ce rapport tend vers L > 1 alors la série diverge et si L< 1 elle converge.
Ma question est la suivante : Soit Vn un équivalent de Un au voisinage de +infini, la limite du rapport Vn+1/Vn nous donne-t-elle selon la règle d'Alembert la nature de la série de terme général Un ?

[Obchan]

Oui, si $ u_n \thicksim v_n $, alors $ u_{n+1} \thicksim v_{n+1} $ donc si $ \frac{v_{n+1}}{v_n} $ tend vers $ L $, alors $ \frac{u_{n+1}}{u_n} $ aussi. Si le critère de d'Alembert marche pour $ v_n $ il marchera aussi pour $ u_n $.

Attention, il ne faut pas confondre avec l'assertion "si $ u_n \thicksim v_n $, la convergence d'une des séries entraîne la convergence de l'autre" qui est totalement fausse (cf le contre-exemple classique $ u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ et $ v_n = \frac{1}{n} $).

[Drake's]

Un= (-1)^n/n plutôt non?

[Karev]

Attention, il ne faut pas confondre avec l'assertion "si $ u_n \thicksim v_n $, la convergence d'une des séries entraîne la convergence de l'autre" qui est totalement fausse

Elle est cependant vraie si les suites sont à termes positifs.

[Drake's]

Ah et même dans ce cas il n'y a pas équivalence il me semble, c'est plutôt la règle de domination qui est mise en défaut!

[Karev]

Par ailleurs je confirme que le contre-exemple donné par Obchan est faux. On a pas $ u_n \sim v_n $. Je confirme le contre-exemple donné par Drake's, qui est justifiée par le critère de convergence des séries alternées.

@Drake's effectivement pas d'équivalence.

[Obchan]

Ah oui, j'ai écrit un truc bien idiot, petite erreur d'inattention ^^ J'ai oublié d'ajouter le $ + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ à $ v_n $

Donc si on prends $ v_n = \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $, on a bien l'équivalence entre les deux suites, alors qu'une série converge et pas l'autre.

[Youssef98]

Tu as aussi le critère de Rabee duhamel si j'ai bien orthographié mdr ça peut sauver lors d'un oral par exemple !