Ordre d'un élément de Z/nZ premier avec n et théorème d'Euler

[natihun]

Bonsoir à tous,
je bloque un peu avec quelques notions des groupes:
si on considère un entier a premier avec n, le sous-groupe engendré par sa classe d'équivalence modulo n engendre Z/nZ. Or il me semble que le cardinal du sous-groupe engendré par un élément est égal à son ordre. Ma question est donc: toute classe d'équivalence inversible de Z/nZ est-elle d'ordre n ?

Est-ce que plus généralement, pour un groupe cyclique, tous les éléments qui engendrent ce groupe sont-ils de même ordre, égal au cardinal du groupe ?

Si je ne me trompe pas, je ne comprends pas la démonstration du théorème d'Euler:
on considère a premier avec n, et on veut montrer que a^phi(n) = 1 [n]
On dit que la classe d'équivalence de a est inversible dans Z/nZ. Donc d'après le théorème de Lagrange, le cardinal de son sous-groupe engendré, i.e. l'ordre de la classe d'équivalence de a, divise le cardinal des inversibles de Z/nZ. Donc l'ordre de la classe de a divise phi(n), d'ou a^phi(n) = 1 [n].

Ce que je ne comprends pas, c'est que si a est premier avec n, le sous groupe engendré par la classe de a est Z/nZ, donc l'ordre de a vaut n. Pourquoi diviserait-il donc phi(n) ?

Merci d'avance

[Zetary]

Salut !

Le problème vient du fait que tu confonds l'ordre additif et l'ordre multiplicatif : typiquement 1 est d'ordre additif n et d'ordre multiplicatif 1.

Si un élément a n'est pas d'ordre additif n, il est d'ordre k un diviseur strict de n (lagrange) donc n divise a+...+a (k fois), c'est à dire que n divise ka donc a n'est pas premier avec n puisque k<n. Par contraposée a premier avec n (qui équivaut à a inversible multiplicativement, par Bézout) implique a d'ordre additif n, ce qui répond à ta première question.

Pour ta deuxième question la réponse est oui, l'ordre étant le cardinal du sous-groupe engendré.

Dans le théorème d'Euler, on considère le sous-groupe multiplicatif de ( (Z/nZ)*, x) engendré par a, (Z/nZ)* étant par définition de cardinal phi(n) lagrange donne directement que l'ordre multiplicatif de a divise phi(n) d'où le théorème d'Euler. Avec les ordres additifs on obtiendrait juste le peu intéressant a+...+a (n fois) est divisible par n.

Enfin n est toujours plus grand que phi(n)

[natihun]

D'accord j'ai compris !
Merci pour ton explication