Montrer f bijective (mpsi/l1)

[Lucaz]

Personne pour me dire comment conserve-t-on l'égalité gof=hof ?

[Tyaz]

Après avoir fixé un élément $ y $ qui n'est pas dans l'image de $ f $, on peut effectivement poser $ g(y) = y $ et $ h(y) = f(y) $ (seulement pour cet élément particulier $ y $ !) ce qui assure que $ g \neq h $ car elles seront différentes en au moins un point.

Ensuite, il reste à définir $ g $ et $ h $ sur le reste de l'ensemble, de manière à avoir $ g \circ f = h \circ f $.
Autrement dit, que peut-on prendre pour $ g(x) $ et $ h(x) $ lorsque $ x \neq y $, de façon à avoir l'égalité ci-dessus ?

[Lucaz]

Après avoir fixé un élément $ y $ qui n'est pas dans l'image de $ f $, on peut effectivement poser $ g(y) = y $ et $ h(y) = f(y) $ (seulement pour cet élément particulier $ y $ !) ce qui assure que $ g \neq h $ car elles seront différentes en au moins un point.

Ensuite, il reste à définir $ g $ et $ h $ sur le reste de l'ensemble, de manière à avoir $ g \circ f = h \circ f $.
Autrement dit, que peut-on prendre pour $ g(x) $ et $ h(x) $ lorsque $ x \neq y $, de façon à avoir l'égalité ci-dessus ?

Mais normalement nous sommes sensés avoir f différent de h ET hof=gof donc je ne comprends pas pourquoi les étudier dans un cas différent ?
Sinon, on peut tout simplement prendre g=h dans le cas x différent de y pour avoir gof=hof ?

[Tyaz]

Sinon, on peut tout simplement prendre g=h dans le cas x différent de y pour avoir gof=hof ?

Effectivement, en faisant cela, tu obtiens bien $ g \circ f=h \circ f $ car $ f $ ne prendra jamais la valeur $ y $ qui est le seul point où $ g $ et $ h $ prennent une valeur différente.
Et $ g $ et $ h $ sont bien différentes car il existe l'élément $ y $ pour lequel $ g(y) \neq h(y) $.

Donc si $ f $ n'est pas surjective, tu peux bien construire $ g $ et $ h $ telles que l'implication $ g \circ f = h \circ f \Longrightarrow g=h $ soit fausse !

[Lucaz]

Sinon, on peut tout simplement prendre g=h dans le cas x différent de y pour avoir gof=hof ?

Effectivement, en faisant cela, tu obtiens bien $ g \circ f=h \circ f $ car $ f $ ne prendra jamais la valeur $ y $ qui est le seul point où $ g $ et $ h $ prennent une valeur différente.
Et $ g $ et $ h $ sont bien différentes car il existe l'élément $ y $ pour lequel $ g(y) \neq h(y) $.

Donc si $ f $ n'est pas surjective, tu peux bien construire $ g $ et $ h $ telles que l'implication $ g \circ f = h \circ f \Longrightarrow g=h $ soit fausse !

Rebonjour, je trouve que c'est bizarre parce que vous dites gof=hof quand h=g mais on a posé plus haut g=y et h(x) =f(x) or on a dit que justement ça c'était t'as possible car f surjective du coup on a h différent de g alors comment pourrait on posé h=g ? Il faudrait le prendre en deuxième couple mais du coup cela ne fonctionne plus ?

[Lucaz]

Sinon, on peut tout simplement prendre g=h dans le cas x différent de y pour avoir gof=hof ?

Effectivement, en faisant cela, tu obtiens bien $ g \circ f=h \circ f $ car $ f $ ne prendra jamais la valeur $ y $ qui est le seul point où $ g $ et $ h $ prennent une valeur différente.
Et $ g $ et $ h $ sont bien différentes car il existe l'élément $ y $ pour lequel $ g(y) \neq h(y) $.

Donc si $ f $ n'est pas surjective, tu peux bien construire $ g $ et $ h $ telles que l'implication $ g \circ f = h \circ f \Longrightarrow g=h $ soit fausse !

Rebonjour, je trouve que c'est bizarre parce que vous dites gof=hof quand h=g mais on a posé plus haut g=y et h(x) =f(x) or on a dit que justement ça c'était t'as possible car f surjective du coup on a h différent de g alors comment pourrait on posé h=g ? Il faudrait le prendre en deuxième couple mais du coup cela ne fonctionne plus ?

Je viens de comprendre en fait ! Merci beaucoup de votre aide