Montrer f bijective (mpsi/l1)

[Lucaz]

C'est presque ça.
Indice: il ne faut pas supprimer le quantificateur.

Autre indice: penser à traduire g différent de h.

On cherche donc à prouver : f non surjective implique non([quantificateur] g rond f = h rond f implique g=f)
Soit f non surjective implique : Il existe un couple d'application de E dans E (g,h) tel que g ronf f = h rond f, et g(y) n'est pas égal h(y) ?

Oui c'est à peu près ça: tu veux montrer qu'il existe (g,h) tels que g != h et gof = hof.
Et g != h <=> il existe y dans E tq g(y) != h(y)

Tu ne vois pas comment exploiter l'indication de zetary à partir de ça?

Mais en fait on cherche g(x) différent de h(x), on a pris y comme une variable quelconque comme un x non ?

[Iko]

Oui y est une variable quelconque, tu peux l'appeler x ou même toto si ca te chantes

Pour avoir gof = hof comment définir h et g ?
Tu as déjà défini la valeur de h et de g lorsque y n'appartient pas à l'image de f (ie lorsque il n'existe pas de x tel que y = f(x) ) mais il faut les définir sur l'image de f aussi (l'ensemble des f(x) ).

[Lucaz]

Je me perds je crois, pourquoi gof=hof n'équivaut pas à [g(f(x))=h(f(x)) donc g=h] ?
Et quand ai je défini les valeurs de h et g quand y n'appartient pas à l'image de f ?

[Iko]

Car f n'est pas surjectif !
f(x) ne parcourt pas tout l'ensemble donc il existe d'autres éléments y qui ne vérifient pas forcément h(y) = g(y). Le but est ici justement de définir h et g de cette manière.

Et bien vu que f n'est pas surjective il existe y tq pour tout x, f(x) =! y.
Si g(y) = y et h(y) = f(y) alors h(y) != g(y) donc g!= h.

[Lucaz]

Car f n'est pas surjectif !
f(x) ne parcourt pas tout l'ensemble donc il existe d'autres éléments y qui ne vérifient pas forcément h(y) = g(y). Le but est ici justement de définir h et g de cette manière.

Et bien vu que f n'est pas surjective il existe y tq pour tout x, f(x) =! y.
Si g(y) = y et h(y) = f(y) alors h(y) != g(y) donc g!= h.

Mais lorsque que g(x)=y et h(x)=f(x), comment montre on qu'on a encore l'égalité gof=hof ?

[Lucaz]

Personne pour me dire comment conserve-t-on l'égalité gof=hof ?

[Tyaz]

Après avoir fixé un élément $ y $ qui n'est pas dans l'image de $ f $, on peut effectivement poser $ g(y) = y $ et $ h(y) = f(y) $ (seulement pour cet élément particulier $ y $ !) ce qui assure que $ g \neq h $ car elles seront différentes en au moins un point.

Ensuite, il reste à définir $ g $ et $ h $ sur le reste de l'ensemble, de manière à avoir $ g \circ f = h \circ f $.
Autrement dit, que peut-on prendre pour $ g(x) $ et $ h(x) $ lorsque $ x \neq y $, de façon à avoir l'égalité ci-dessus ?

[Lucaz]

Après avoir fixé un élément $ y $ qui n'est pas dans l'image de $ f $, on peut effectivement poser $ g(y) = y $ et $ h(y) = f(y) $ (seulement pour cet élément particulier $ y $ !) ce qui assure que $ g \neq h $ car elles seront différentes en au moins un point.

Ensuite, il reste à définir $ g $ et $ h $ sur le reste de l'ensemble, de manière à avoir $ g \circ f = h \circ f $.
Autrement dit, que peut-on prendre pour $ g(x) $ et $ h(x) $ lorsque $ x \neq y $, de façon à avoir l'égalité ci-dessus ?

Mais normalement nous sommes sensés avoir f différent de h ET hof=gof donc je ne comprends pas pourquoi les étudier dans un cas différent ?
Sinon, on peut tout simplement prendre g=h dans le cas x différent de y pour avoir gof=hof ?

[Tyaz]

Sinon, on peut tout simplement prendre g=h dans le cas x différent de y pour avoir gof=hof ?

Effectivement, en faisant cela, tu obtiens bien $ g \circ f=h \circ f $ car $ f $ ne prendra jamais la valeur $ y $ qui est le seul point où $ g $ et $ h $ prennent une valeur différente.
Et $ g $ et $ h $ sont bien différentes car il existe l'élément $ y $ pour lequel $ g(y) \neq h(y) $.

Donc si $ f $ n'est pas surjective, tu peux bien construire $ g $ et $ h $ telles que l'implication $ g \circ f = h \circ f \Longrightarrow g=h $ soit fausse !

[Lucaz]

Sinon, on peut tout simplement prendre g=h dans le cas x différent de y pour avoir gof=hof ?

Effectivement, en faisant cela, tu obtiens bien $ g \circ f=h \circ f $ car $ f $ ne prendra jamais la valeur $ y $ qui est le seul point où $ g $ et $ h $ prennent une valeur différente.
Et $ g $ et $ h $ sont bien différentes car il existe l'élément $ y $ pour lequel $ g(y) \neq h(y) $.

Donc si $ f $ n'est pas surjective, tu peux bien construire $ g $ et $ h $ telles que l'implication $ g \circ f = h \circ f \Longrightarrow g=h $ soit fausse !

Rebonjour, je trouve que c'est bizarre parce que vous dites gof=hof quand h=g mais on a posé plus haut g=y et h(x) =f(x) or on a dit que justement ça c'était t'as possible car f surjective du coup on a h différent de g alors comment pourrait on posé h=g ? Il faudrait le prendre en deuxième couple mais du coup cela ne fonctionne plus ?