Exo MPSI sur les ensembles

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Exo MPSI sur les ensembles

Message par mrordinal » 12 sept. 2017 23:01

Hello !

Est-ce que quelqu'un saurait résoudre l'exercice là avec les notions bases sur les ensembles de MPSI donc sans algèbre linéaire :)

Soient $ n\in\mathbb N^* $ et $ (X_i)_{1\leq i\leq n+1} $ une famille de parties non vides de $ \{1,\ldots,n\} $. Montrer qu'il existe deux sous-ensembles disjoints $ I $ et $ J $ de $ \{1,\ldots,n+1\} $ tels que $ \bigcup_{i\in I}X_i=\bigcup_{j\in J}X_j $ ?

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Re: Exo MPSI sur les ensembles

Message par Bidoof » 14 sept. 2017 19:40

Je suis curieux de voir la réponse avec l'algèbre linéaire.

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Re: Exo MPSI sur les ensembles

Message par JeanN » 14 sept. 2017 23:22

Tu prends la matrice réelle de taille (n,n+1) avec M_{i,j}=1 si i appartient à X_j et 0 sinon.
Elle est de noyau non nul car... donc...
On construit alors ainsi I et J : ...
Ils conviennent !

Je ne connais pas de preuve non algébrique :(
La récurrence ne fonctionne pas très bien par exemple...
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Re: Exo MPSI sur les ensembles

Message par oty20 » 15 sept. 2017 00:56

c'est le dernier exo du Td , du grand Professeur Alain Troesch ,
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exo MPSI sur les ensembles

Message par oty20 » 15 sept. 2017 01:10

Edit
Dernière modification par oty20 le 16 sept. 2017 15:29, modifié 1 fois.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exo MPSI sur les ensembles

Message par jmctiti » 15 sept. 2017 19:27

Bonsoir

Il y a juste un petit problème avec ta démo :
tu n'es pas sûr que les A correspondent à des parties I et J disjointes.

D'ailleurs, il y a une hypothèse que tu n'utilises pas, c'est que tous les X_i sont non vides.

Il y aurait bien une réponse (pas vraiment honnête) à ce que tu as posé comme question : $ I=J=\emptyset $
Mais je pense qu'il demande des parties non vides, non ?

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Re: Exo MPSI sur les ensembles

Message par JeanN » 15 sept. 2017 20:03

Oui, des parties I et J non vides et disjointes :)
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Re: Exo MPSI sur les ensembles

Message par mrordinal » 15 sept. 2017 20:59

Merci pour les collaborations :)

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Re: Exo MPSI sur les ensembles

Message par oty20 » 16 sept. 2017 00:10

EDit
Dernière modification par oty20 le 16 sept. 2017 15:30, modifié 2 fois.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exo MPSI sur les ensembles

Message par JeanN » 16 sept. 2017 10:00

"Disjointes vu qu'elles sont distinctes " ?
Allons...
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