Bijection.

[oty20]

oups dans mon post précédent il faut remplacer f par g , j'ai considéré le probleme fog=id alors que c'est gof=id , j'ajoute au commentaire de darkol la structure de ta démonstration est a revoir , tu fais du driblage , essaye d’être plus précis dans tes idées, et tes arguments

[oty20]

désolé de poster deux fois , je mets ma solution en spoiler pour que darkol puisse y jeté un oeil si il en a envie

SPOILER:

probleme que j'ai considérer est : fog=id sous hypothese de continuité montrons que f et g sont bijective , la surjectivité de f est evidente et l'injectivité de g aussi , montrons que f est injective , soit x et y tel que f(x)=f(y) , si x et y son dans g(R) c'est fini , sinon le théorème des valeurs intermédiaire for que au moins l'une des assertions suivantes est vrai : pour tout z dans R : g(z) > x ou g(z) <x ou g(z) > y ou g(z) < y , supposons par exemple que pour tout z : g(z) > x alors comme g est injective et continue il est classique que g est monotone , comme minoré , il existe dans un réel t tel que lim z tendant vers -infinie ou + infinie g(z)=t , mais alors ceci force |f(t)|= + infinie ! absurde et donc g est surjective , il nous en fallait pas plus

[darklol]

@oty20 Ok. Tu auras remarqué dans ta preuve qu'on s'en fout de l'hypothèse qu'on prend ($ f \circ g = \text{id} $ ou $ g \circ f = \text{id} $) vu qu'elle est symétrique en $ f $ et $ g $, et que dès qu'on a la bijectivité de l'une on a automatiquement celle de l'autre. Petit détail: "pour tout" n'est pas distributif par rapport à "ou" donc attention à la façon dont tu rédiges tes phrases en français, ça peut porter à confusion.

Et le contre-exemple?

[Bidoof]

J'ai édité ma réponse, je cherche le contre exemple.
(En fait demain).

[oty20]

darkol , oui merci pour ta remarque , je sais bien que le quantificateur n'est pas distributif , pardonnez mon manque de rigueur , je visite le forum généralement juste avant de dormir .... pour le fun et m'amuser avec une ou deux questions que je trouve intéressante, d'ou le manque de rigoure j'essaierai de faire plus d'effort a l'avenir . oui j'ai un contre exemple que je partagerai après que bidoof ait fini de chercher , il est assez simple , il y en a plusieurs même avec justes les fonctions usuels .

[Bidoof]

Je vais éditer le contre exemple.

[Bidoof]

Ca y'est ^^.

[oty20]

pense a une fonctions qui est constante sur un ensemble de points , et bijective en dehors de cette ensemble .

[Bidoof]

pense a une fonctions qui est constante sur un ensemble de points , et bijective en dehors de cette ensemble .

Ma réponse n'est pas convenable ?

[oty20]

ou ? je ne sais pas si c'est juste de mon coté mais j'arrive pas a voir apparaître ton contre exemple sur tes postes .